Gränsvärden

I  a  ger du ett exempel på funktioner som uppfyller villkoret - har ett gränsvärde i punkten trots att nämnaren är noll

men hur tänker du i b?  Att gränsvärdet inte existerar för detta val av funktioner bevisar ju ingenting ( utom att det finns funktioner där det inte existerar  men vi vill väl bevisa att det inte finns  några funktioner som ger ett gränsvärde).

Jag tänkte att täljaren i b x-a^2 inte blir noll och därmed inte kan förkortas med nämnaren eftersom det inte finns en gemensam faktor. Vilket bevisar att täljaren måste vara 0 om nämnaren är 0. Det kanske är dåligt redovisat? Hur kan jag göra det bättre?

Vad använder ni för definition på om gränsvärdet existerar?

Oavsett detaljer i definitionen finns inte det inget gränsvärde om funktionen (vår kvot) skenar iväg mot oändligheten

och det gör den ju precis som kajjan säger, åtminstone om  funktionerna är kontinuerliga.

Men jag förstår inte vad x-a^2 kommer ifrån - det ska ju gälla alla p(x) som inte är noll  i punkten a

Bevisidé: Eftersom p(a) är skilt från 0 är täljaren större än till exempel  p(a)/2 i någon omgivning till a medan q(x) fritt faller ner mot noll och därmed växer kvoten obegränsat.

( Eller mindre än p(a)/2 i det fall att p(a) är negativt )

Det beror ju på om man räknar oändligheten som ett svar.

Då blir väl uppgiften ganska meningslös om man som vi gjort förutsätter kontinuerliga funktioner - för då finns det alltid ett gränsvärde eller tänker jag fel?

Jag trodde gymnasiematten gick ut på meningslösa uppgifter? 🙄

Visst stöter man på funktioner utan gränsvärde redan där, tex 1/x. Sen kanske de inte uppfyller kraven här men då får man ju komma fram till det.

Det tyckte jag också för det mesta.

Eller än värre sin(1/x) vid noll som inte går mot oändligheten utan bara fladdrar.

Ja, jag borde verkligen ha skrivit 'och som har ett värde i punkten a' också.

Är p(x) och q(x) givet? Vart annars kommer kvoten ifrån? 

Nej, det ska gälla alla funktioner. Jag chansade på att kontexten begränsar uppgiften till lite 'snälla' funktioner t.ex. kontinuerliga.

Fast det enklaste exemplet på att gränsvärdet kan existera trots att q(a) är noll är ju att p(x) = q(x)