Gränsvärden

På första så använder du att

$\frac{\sin \left(2x\right)}{\ln (1 + x)}=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}{2x}·\frac{2x}{\ln {\displaystyle (}{\displaystyle 1}{\displaystyle }{\displaystyle +}{\displaystyle }{\displaystyle x}{\displaystyle )}}=2·\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}{2x}·\frac{x}{\ln {\displaystyle (}{\displaystyle 1}{\displaystyle }{\displaystyle +}{\displaystyle }{\displaystyle x}{\displaystyle )}}$

sedan har du två standardgränsvärden som du bör känna igen.

På den andra kan du utnyttja att

$\ln (e^x+2^x) <\ln (e^x+e^x)=\ln \left(2e^x\right)=\ln \left(2\right) + x$

sedan har du alltså att

$0\le \frac{\ln (e^x+2^x)}{e^x}<\frac{\ln \left(2\right) + x}{e^x}$

och det du har till höger kan du utvärdera genom standardgränsvärden.

Tack så jättemycket!

Förstår tänket gällande den andra, att den kommer gå mot 0 eftersom e^x växer snabbare än ln2+x men behöver kunna bevisa det med en uträkning, någon som kan hjälpa till med det?

Det gäller alltså att

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(2\right)+x}{e^x}=\ln \left(2\right)\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle e^x}}+\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle e^x}}=0+0=0$

enligt standardgränsvärden.

ln(2) i täljaren kan försummas. Du kan här ta i ordentligt och använda att

ln(2) + x < 2x

för stora (och inte bara för så stora) x.