Gränsvärde y—>1

Rent spontant tänker jag substitution $\sqrt{y}=u$

$\underset{u\to 1}{\lim }\frac{u^2-4u+3}{u^2-1}=\underset{u\to 1}{\lim }\frac{\left(u-1\right)\left(u-3\right)}{\left(u+1\right)(u-1)}=\underset{u\to 1}{\lim }\frac{u-3}{u+1}=\frac{1-3}{1+1}=-1$

EDIT: Grovt slarfel ska vara $\frac{(u-1)(u-3)}{u^4-1}=\frac{(u-1)(u-3)}{(u^2-1)(u-1)(u+1)}=\frac{(u-3)}{(u^2+1)(u+1)}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$  samma som l'hopital fast lättare med den, ursäkta

l'hospital's rule; det lär ändå fungera här.

$$\begin{gathered} \underset{y\to 1}{\lim }\frac{y-4\sqrt{y}+3}{y^2-1} stoppar man in y=1, \frac{1-4\sqrt{1}+3}{1-1}=\frac{4-4}{1-1}=\frac{0}{0} \\ \underset{y\to 1}{\lim }\frac{y-4\sqrt{y}+3}{y^2-1}=\underset{y\to 1}{\lim }\frac{1-4\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{y}}}}{2y} =\underset{y\to 1}{\lim }\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{y}}}}{2y}=\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1}}}}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2} \\ Detta stämmer väl? \end{gathered}$$

-1/2 är rätt, ska prova!

Jag tänker som Kalaskull, men nämnaren blir u⁴-1, inte u²-1. Då kommer värdet att stämma med det som pepsi1968 har räknat fram.

Smaragdalena skrev:

Jag tänker som Kalaskull, men nämnaren blir u⁴-1, inte u²-1. Då kommer värdet att stämma med det som pepsi1968 har räknat fram.

Yeah Edita mitt inlägg när jag såg vad jag gjorde och fick samma resultat

Härligt såsom jag har förstått det och det verkar fungera fint så fungerar l'hospital's regel såhär: $$\begin{gathered} \frac{lim}{x\to a}=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}=\frac{g\left(a\right)}{h\left(a\right)}=\frac{0}{0}, om detta stämmer får du derivera g\left(x\right) samt h\left(x\right) var för sig. \\ dvs\frac{lim}{x\to a}=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}=\frac{g\text{'}\left(x\right)}{h\text{'}\left(x\right)}=\frac{g\text{'}\left(a\right)}{h\text{'}\left(a\right)}=\frac{a}{b} där b inte får vara noll. \\ blir det \frac{0}{0} igen så fortsätter du på samma sätt; \frac{lim}{x\to a}=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}=\frac{g\text{'}\left(x\right)}{h\text{'}\left(x\right)}=\frac{g\text{'}\text{'}\left(x\right)}{h\text{'}\text{'}\left(x\right)}=\frac{g\text{'}\text{'}\left(a\right)}{h\text{'}\text{'}\left(a\right)}=\frac{a}{b} \end{gathered}$$

Okej tack så mycket! Det där blev ju möjligt helt plötsligt! 

Kallaskull skrev:

Smaragdalena skrev:

Jag tänker som Kalaskull, men nämnaren blir u⁴-1, inte u²-1. Då kommer värdet att stämma med det som pepsi1968 har räknat fram.

Yeah Edita mitt inlägg när jag såg vad jag gjorde och fick samma resultat

Kalaskull, tack för att du redigerade ditt inlägg på ett så bra sätt! Guldstjärna (det har jag nog aldrig delat ut tidigare). /moderator