Gränsvärde: x ln(sin x)

 Tre alternativ:

- L'Hopitals regel är alltid ett alternativ. Det är en tråkig metod i meningen att den är mekanisk och inte ger en så mycket förståelse men det fungerar. (Måste skrivas om som en kvot först dock)

 - Ett annat är att använda olikheter för att använda instängningssatsen, dvs klämma in funktionen mellan två enklare funktioner som går mot samma värde (rimligtvis 0)

 -Komplettera uttrycket med extra faktorer som gör om gränsvärdet till en produkt av standardgränvärden.

SeriousCephalopod skrev :

 Tre alternativ:

- L'Hopitals regel är alltid ett alternativ. Det är en tråkig metod i meningen att den är mekanisk och inte ger en så mycket förståelse men det fungerar. (Måste skrivas om som en kvot först dock)

 - Ett annat är att använda olikheter för att använda instängningssatsen, dvs klämma in funktionen mellan två enklare funktioner som går mot samma värde (rimligtvis 0)

 -Komplettera uttrycket med extra faktorer som gör om gränsvärdet till en produkt av standardgränvärden.

Okej, fast jag fattar fortfarande inte hur jag ska lösa uppgiften :0

Kör L'Hopital på det här

$\lim_{x \to 0+} \cfrac{\ln(\sin(x))}{\cfrac{1}{x}}$

Eller förläng med sin(x)/sin(x) och para ihop lämpliga faktorer.

Småvinkel-approximationen beskriver:
$\sin \left(x\right)\approx x$

Hej!

Prova att använda standardgränsvärdet

    $\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x} = 1$

och utnyttja att logaritmfunktionen är kontinuerlig i närheten av $0\ .$

    $\ln \sin x = \ln \frac{\sin x}{x} + \ln x\ ,$

så att det sökta gränsvärdet kan skrivas

    $\lim_{x\to0^+} x\ln \sin x = \lim_{x\to0^+}x\ln \frac{\sin x}{x} + \lim_{x\to0^+}x\ln x = 0.\ .$

Albiki

Om jag hade haft stark tidspress hade jag bara köttat på med L'Hopitals regel, men precis som SC skriver så ger den inte så mycket förståelse, så om tid finns hade jag i stället följt den här approachen:

Steg 1 (intuitivt resonemang). Börja med att försöka få en känsla för hur din funktion fungerar. Dela exempelvis upp den i delar och analysera delarna var för sig. Här ser vi t.ex. att den första faktorn x går mot noll, medan sin(x)->0 vilket leder till att ln(sin(x)) går mot minus oändligheten. Så vi har alltså ett jobbigt gränsvärde av typen [noll*(-oändligheten)]. Hmm...

Nästa steg kan vara att precis som du gör notera att vi vet att x*ln(x)->0 när x->0+. Det enda problemet blir då att logaritmen verkar på sin(x) i stället för x. Men detta är faktiskt inget problem eftersom vi, precis som Affe påpekar, vet att sin(x) beter sig som x, för x nära 0. Detta blir tydligt om man ritar en graf, och man kan även notera att detta är exakt vad standardgränsvärdet sin(x)/x->1 när x->0 säger.

Vi har med andra ord nu goda skäl att tro att gränsvärdet är 0, och en bra idé om varför.

Steg 2 (formellt argument). Låt oss nu sy ihop detta till ett formellt argument! För att göra det brukar det vara enklast att använda någon kombination om standardgränsvärden, variabelbyten och kontinuitet. Utifrån vad vi kom fram till i steg 1 känns det mest naturligt att utnyttja x*ln(x)->0 när x->0+ och sin(x)/x->1. Låt oss därför börja med att tycka in ett "delat på x" i vår funktion. Resten följer sedan närmast automatiskt efter lite förenklaringaar (bl.a. med hjälp av en logaritmlag), precis Albiki visar i sitt inlägg.

Lägg märke till att vi utnyttjar att funktionen ln(x) är kontinuerlig vid x=1 [notera att det, om jag inte misstar mig, räcker med "vid" i stället för "i närheten av", och notera att det ska vara vid x=1, och inte x=0 som Albiki råkade skriva i sitt inlägg]. Om du har tid är det en bra idé att verkligen försöka förstå varför detta med kontinuiteten är en viktig detalj i argumentet.

Affe Jkpg skrev :

Småvinkel-approximationen beskriver:
$\sin \left(x\right)\approx x$

Man blir väl sedan nästan färdig när man lägger till:
$$\begin{gathered} x\ln \left(x\right)=\ln \left(x^x\right) \\ \underset{x\to 0+}{\lim }{x}^x=1 \end{gathered}$$

ln(1)=0

Till Oggih och SC.

Har ni undersökt förutsättningarna till l'Hôpitals sats innan ni gav rådet att köra eller kötta på med satsen? Är förutsättningarna uppfyllda av de två funktionerna x och ln(sin(x)) i närheten av x=0?

Albiki

Albiki skrev :

Till Oggih och SC.

Har ni undersökt förutsättningarna till l'Hôpitals sats innan ni gav rådet att köra eller kötta på med satsen? Är förutsättningarna uppfyllda av de två funktionerna x och ln(sin(x)) i närheten av x=0?

Albiki

Jag trodde det men kan ju ha fel. Finns ju lite olika formuleringar av L'Hopitals och blir ju en av utvidgningarna iochmed att gränsvärdet är ensidigt när Lhopitals konventionellt avser tvåsidiga gränsvärden. Vilket kriterie tänkte du dig inte höll för ensidiga varianten?

SeriousCephalopod skrev :

Albiki skrev :

Till Oggih och SC.

Har ni undersökt förutsättningarna till l'Hôpitals sats innan ni gav rådet att köra eller kötta på med satsen? Är förutsättningarna uppfyllda av de två funktionerna x och ln(sin(x)) i närheten av x=0?

Albiki

Jag trodde det men kan ju ha fel. Finns ju lite olika formuleringar av L'Hopitals och blir ju en av utvidgningarna iochmed att gränsvärdet är ensidigt när Lhopitals konventionellt avser tvåsidiga gränsvärden. Vilket kriterie tänkte du dig inte höll för ensidiga varianten?

Hej!

Kan du ange den version av l'Hôpitals teorem som du tänkte på, så kan vi diskutera om dess förutsättningar är uppfyllda av den aktuella funktionen?

Albiki

Det var du som reste problemet men utan att läsa den ta svenska wikipedias och byt x mot |x| för att göra gränsvärdet dubbelsidigt. 

Finns hål i det?

SeriousCephalopod skrev :

Det var du som reste problemet men utan att läsa den ta svenska wikipedias och byt x mot |x| för att göra gränsvärdet dubbelsidigt. 

Finns hål i det?

Ja, jag tog upp frågan men det var inte jag som gav rådet att använda satsen på det aktuella problemet och det är inte jag som behöver rättfärdiga dess användande.

Utan att få se satsen som du tänkte på kan jag inte diskutera dess lämplighet; du kan inte begära att jag ska veta vad du tänker på.

Är den svenska wikipediatexten som du nämner pålitlig? Det vore bättre att referera direkt till en erkänd källa; jag vet att wikipediasidan hänvisar till Larsson, Ericsson och Wahde men det kan vara så att de som skrivit wikisidan missat något i boken.

Albiki

Helt klart ska man så klart aldrig bara "kötta på" (dumt uttryckt av mig!) och använda satser blint, utan alltid kolla exakt vad satsen säger och vad den innehåller för villkor. Och just L'Hopital används nog på många grundläggande analyskurser tvyärr alldeles för vårdslöst (jag själv förstod iaf definitivt inte riktigt vad jag höll på med när jag själv läste envariableanalys första gången!), så det är defintivt bra att du väcker frågan, Albiki.

I det här fallet gick jag mest på att jag vet att x*ln(x) när x->0+ är ett standardexempel på en kul tillämpning av L'Hopital [och som, väl, inte är ett cirkelresonemang som andra standardexempel såsom sin(x)/x?].

Men tänker man igenom förutsättningarna för L'Hoptial tror jag faktiskt att det är rätt lätt att se att vi verkligen har vårt på det torra! I alla fall om man använder L'Hopitals regel i den form som beskrivs i Adams Calculus eller som beskrivs och bevisas på Wikipedia. Själva premissen formuleras nog tydligast av A. E. Taylor, som Wikipedia refererar till (och nej, det är inte den Taylor! :P):

(Ur: Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59: 20–24.)
Notera att han menar gränsvärden när x går mot c ensidigt.

Låt oss nu jämföra vår situation med Taylors formulering:

H0: Vi har en kvot f(x)/g(x) av funktioner f(x)=ln(sin(x))) och g(x)=1/x som båda är deriverbara på en punkterad högeromgivning av 0, säg t.ex. intervallet (0,pi/2), där även g(x) och g'(x) är nollskilda.

H2: f(x) går mot minus oändligheten när x->0+, och g(x) går mot plus oändligheten när x->0+.

H3: Gränsvärdet av f'(x)/g'(x) är 0 när x->0+.

Och vi drar då (om jag och/eller herr Taylor inte missar något!) slutsatsen att f(x)/g(x) -> 0 när x->0.

Notera att iom att beviset för denna variant är ganska tekniskt, förekommer det en del svagare, mer lättbevisade varianter med strängare förutsättningar, som kanske är det som Albiki hade i åtanke, och med dem tror jag mycket riktigt att man inte kommer åt fallet "oändlighet över oändligthet" som vi har att göra med här. 

Om TS vill använda denna mer kraftfulla version av L'Hoptials regel är det en god idé att läsa igenom Wikipedias (dock ganska röriga) bevis, Taylors lite klarare formulering eller Adams bevis (som jag dock inte själv har läst så noga, men som jag tycker ser rätt fint ut) noggrant. Även om det ibland är ett nödvändigt ont, är det sällan helt bra att använda resultat som man inte själv förstår hur man kan bevisa. Risken är stor att man missar något väsentligt och gör fel -- eller att man tror att satsen är mindre kraftfull än den faktiskt är. Kan man något av de nämnada bevisen för L'Hoptial vet man t.ex. direkt att man inte behöver vara orolig för att vi har ett ensidigt gränsvärde här, eftersom det tvåsidiga resultatet som man ser i vissa kursböcker/på Wikipedia ofta härleds genom att visa höger- och vänstergränsvärdet var för sig med hjälp av ovanstående sats! :D

@albiki.Jag förmodade att du hade en konkret villkor jag inte tänkt, eller att svaret inte blir rätt om man kör med "derivera täljare, deriver nämnare" enligt någon standardversion. Jag har inte satsen memorerad men har koll på några vanliga missar man kan göra och ser dem inte här. Om frågan bara var om jag tänkt alls så var svaret ja... . Finns felspår i förhållande till någon formulering så vill jag veta dem.

Var det bara ensidighet-tvåsidighetsaspektet du ville anmärka på? För det tog jag ju inte upp urprungligen, det stämmer.