Gränsvärde, x går mot minus oändligheten

Hej,

En nybörjare på gränsvärden och behöver lite hjälp med följande uppgift:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x + 3}$

Jag tänker att jag vill bryta ut x från uttrycket så att:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x + 1}}{x (1 + \frac{3}{x})}$

Och att sedan sätta in 0 för alla x och får ut svaret är 1, men svaret är -1. Förstår inte hur det uttrycket kan bli minus? Antar att jag inte förstår hur jag tillämpar "x mot minus oändligheten".

Du tänker i rätt banor, du gör bara lite fel på algebran. Det går nämligen inte att bara bryta ut $x$ ur en kvadratrot så där. Gör istället enligt följande:

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+x}}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x+3}=...$

Super, tack!

Därav definierar man absolutbeloppet av x utanför kvadratroten till -1 pga av att x går mot minus oändigheten?

Ungefär så. I och med att $x$ är negativt kommer att absolutbeloppet att byta tecken på det som finns inuti det, då blir $|x|=-x$ och vi får:

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x(1+\frac{3}{x})}=-\dfrac{\sqrt{1}}{1}=-1$

Poletten trilla ner nu, tack så mycket! :)

Svara

Visa senaste svar