gränsvärde, varför blir denna fel? (envariabelanalys)

Om du gör på första sättet behöver du skriva om det förenklade uttrycket på ett enda bråkstreck och förenkla det ännu mer.

Smaragdalena skrev:

Om du gör på första sättet behöver du skriva om det förenklade uttrycket på ett enda bråkstreck och förenkla det ännu mer.

hmm hänger inte med riktigt, varför måste man skriva om på ett bråksträck när man ska beräkna gränsvärde?

För att annars får du, precis som du märkte, oändlighet minus oändlighet. Förläng den första termen med 1/x-1/x² och den andra med 1/x+1/x². Då kan du förenkla täljaren. Hur ser det ut när du har gjort det? Sedan måste du se till att nämnaren inte går mot 0. 

Kort sagt, din andra metod är bättre.

Smaragdalena skrev:

För att annars får du, precis som du märkte, oändlighet minus oändlighet. Förläng den första termen med 1/x-1/x² och den andra med 1/x+1/x². Då kan du förenkla täljaren. Hur ser det ut när du har gjort det? Sedan måste du se till att nämnaren inte går mot 0. 

Kort sagt, din andra metod är bättre.

okej jag förstår. så om man märker att nämnaren går mot noll eller något annat tokigt borde man veta att det finns en annan metod eller att man gör något galet och testa något annat

okej då är jag med tusen tack!

Maremare skrev:

hmm hänger inte med riktigt, varför måste man skriva om på ett bråksträck när man ska beräkna gränsvärde?

Det måste du inte alltid.

Om uttrycket t.ex. är $\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1}$ så går det utmärkt att förkorta båda termerna med $x$ var för sig och sedan låta $x$ gå mot oändligheten, utan att först sätta termerna på gemensamt bråkstreck.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

hmm hänger inte med riktigt, varför måste man skriva om på ett bråksträck när man ska beräkna gränsvärde?

Det måste du inte alltid.

Om uttrycket t.ex. är $\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1}$ så går det utmärkt att förkorta båda termerna med $x$ var för sig och sedan låta $x$ gå mot oändligheten, utan att först sätta termerna på gemensamt bråkstreck.

aa okej okej så det är som vi nämnde att när nämnaren går mot 0 eller oändligheten som man borde testa en annan metod som i det första fallet? Eller hur ska man annars veta när det går eller inte?

Maremare skrev:

aa okej okej så det är som vi nämnde att när nämnaren går mot 0 eller oändligheten som man borde testa en annan metod som i det första fallet? Eller hur ska man annars veta när det går eller inte?

Du får pröva dig fram.

Ibland så går ju nämnaren "med rätta" mot 0, som till exempel i fallet $\frac{x^2}{x+2}$.

Om du förkortar med $x^2$ så får du $\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}$. Om nu $x$ går mot oändligheten så går nämnarens båda termer mot 0 och bråket som helhet går mot oändligheten, vilket innebär att gränsvärdet saknas. Det är inget problem.

======

Att nämnaren går mot oändligheten är inte i sig ett problem (om täljaren är begränsad). Det betyder i så fall att uttrycket går mot 0.

Exempel $\frac{x}{x^2+1}$, som efter förkortning med $x$ blir $\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$. Eftersom täljaren är begränsad och nämnaren går mot oändligheten så går ju bråket mot 0.

Det du ska se upp med är uttryck där både täljare och nämnare går mot 0 och/eller oändligheten, dvs uttryck som $\frac{0}{0}$, $\frac{0}{\infty}$, $\frac{\infty}{0}$ och $\frac{\infty}{\infty}$.

Hej M. M.,

Ditt gränsvärde blir av typen $\infty-\infty,$ vilket är obestämt; det kanske existerar, men man får använda diverse knep för att försöka få fram vad det i så fall är.

Om du skriver de två kvoterna på gemensam nämnare får du $x^3$-termer som kancellerar, vilket kanske låter dig bestämma gränsvärdet.

    $\frac{x^2}{x+1}-\frac{x^2}{x-1} =\frac{x^3-x^2-x^3-x^2}{x^2-1^2} = \frac{-2x^2}{x^2-1}$

där Konjugatregeln tillämpats på nämnaren. Förkorta sedan med $x^2$ för att få 

    $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x+1}-\frac{x^2}{x-1} =\lim_{x\to\infty} \frac{-2}{1-x^{-2}} = \frac{-2}{1-0} = -2.$