Gränsvärde — två olika svar!

För att gränsvärdet ska existera måste det vara samma oavsett från vilket håll vi närmar oss $(0,0)$. Om du hittar 2 olika vägar mot $(0,0)$ med olika gränsvärden, så har du visat att gränsvärdet inte existerar. 

Standard brukar vara att testa gränsvärdet längs exempelvis $y=x$ och $y=kx$, dvs linjer mot origo. 

Testa det, vad får du för gränsvärde längs $y=x$? $y=kx$?

Sen om man anar att gränsvärdet existerar så kan man byta till polära koordinater och testa det. Men som sagt så skulle jag definitivt börja undersöka gränsvärdet längs linjer genom origo om man är osäker vid bråk som dessa.

Jag är med på det! Men varför får symbolab gränsvärdet till 0?

EDIT: Varför byter dem till polära koordinater? När får man göra det och när inte?

Soderstrom skrev:

Jag är med på det! Men varför får symbolab gränsvärdet till 0?

EDIT: Varför byter dem till polära koordinater? När får man göra det och när inte?

Jag skulle vilja att du beräknar gränsvärdet för de 2 linjer jag sa, och lägga in dom här. Sen så kan du alltid använda polära koordinater i sådana här fall, det är ju en ekvivalent beskrivning av punkten. Det betyder dock inte att det alltid blir lättare att arbeta med polära koordinater. 

Så! Kanske inte världens finaste redovisning men jag tror att det är rätt? :)

Soderstrom skrev:

Jag är med på det! Men varför får symbolab gränsvärdet till 0?

EDIT: Varför byter dem till polära koordinater? När får man göra det och när inte?

Svar på andra frågan: Man får alltid använda polära koordinater om man vill.

Symbolab verkar helt enkelt räkna fel, troligen när de tar gränsvärdet och låter r gå mot 0, de verkar se theta som ett fixerat tal, dvs man närmar sig längs linjer. Det finns dock andra sätt att närma sig, t.ex. genom en krökt kurva.

Jag är lite förvirrad nu. Laguna säger att man alltid får använda polära koordinater och JohanB säger att symbolab.com räknade fel. 

Jag kan även säga att jag fick fel på uppgiften när jag fick svaret 0 genom polära koordinater.

Och skulle någon kunna se om jag gjorde rätt i bilden ovan så som Moffen förklarade? :)

Soderstrom skrev:

Jag är lite förvirrad nu. Laguna säger att man alltid får använda polära koordinater och JohanB säger att symbolab.com räknade fel. 

Jag kan även säga att jag fick fel på uppgiften när jag fick svaret 0 genom polära koordinater.

Och skulle någon kunna se om jag gjorde rätt i bilden ovan så som Moffen förklarade? :)

För att ett gränsvärde ska existera måste det vara lika från alla håll man går mot det. Det finns många sätt att gå mot axlar, där de flesta redan är nämnda i tråden. I det här fallet så kan du med säkerhet säga att gränsvärdet inte existerar då du har fått fram två olika värden.

För att försöka svara på de andra frågorna:

Det Laguna säger är helt korrekt, koordinatbyte är alltid tillåtet, även om det ibland kan komplicera saker mer än förenkla. 

Det jag tror JohanB talar om är att när symbolab beräknar gränsvärdet med polära koordinater så gör dom det fel. Eftersom vi i polära gränsvärden har både en radie och en vinkel är det inte så enkelt som att låta r gå mot 0, man måste ta hänsyn till vinkeln också. 

Du ser ut att ha räknat rätt i din beräkning, förutom att det ser ut som att det sista gränsvärdet är 0 inte 0-skilt. Om x går mot 0 är det ju $\frac{0}{K^6}$som är 0.

Okej, så polära koordinater är alltid okej att använda men man måste ta hänsyn till vinkeln. Ska man låta vinkeln gå mot 0 också?

Och i mina beräkningar har jag visat att längs y=x och y=kx så går gränsvärdet mot 0. Men rätt svar är att det inte existerar. Så vad var syftet med båda vägarna? :)

Varför man ska räkna ut både y=x och y=kx vet jag inte, för y=x är bara ett specialfall av y=kx. Det kunde ha varit så att värdet berodde på k, men det gjorde det inte den här gången. Längs x=0 kunde man ha provat, men det blir 0 det också.

En annan familj av vägar man kan gå längs är y=x^k. Hur blir det då?

(Om man använder polära koordinater: Vinkeln 0 är det inget särskilt med. Man kan låta den vara konstant eller variera som en funktion av r.)

Jag tror att polära koordinatbytet är tyvärr ineffektivt. Jag får alltid svaret $0$ och vår föreläsere verkar inte tycka om det i sina beräkningar, då han alltid använder sig av "vägar". 

Men tack allihopa. Det var en rolig diskussion.