Gränsvärde trigonometri

Att dra bort 0 i täljaren gör ingen skillnad. Du kan kalla nollan för cos(pi/2).
Poängen är ju att du klär uttrycket i en derivatakostym. (f(x)–f(a))/(x–a) går mot f’(a) när x går mot a. (Eventuellt kan du kalla x för a+h och låta h gå mot 0.)

Ser man sådant med litet övning? Ja, om du gör det en kvart om dagen…
Det var inget jag såg direkt, men jag har inte övat de senaste hundra åren. Jag tror nog man behöver ha sett några exempel, svårt att lista ut på egen hand.
Men är det inte snyggt? 

Texten i uppgiften föreslår dock att skriva gv som en derivata.

Mogens skrev:

Att dra bort 0 i täljaren gör ingen skillnad. Du kan kalla nollan för cos(pi/2).
Poängen är ju att du klär uttrycket i en derivatakostym. (f(x)–f(a))/(x–a) går mot f’(a) när x går mot a. (Eventuellt kan du kalla x för a+h och låta h gå mot 0.)

Ser man sådant med litet övning? Ja, om du gör det en kvart om dagen…
Det var inget jag såg direkt, men jag har inte övat de senaste hundra åren. Jag tror nog man behöver ha sett några exempel, svårt att lista ut på egen hand.
Men är det inte snyggt? 

Jo kanske lite då. Nu när jag börjar att acceptera det, men ibland tar det lite tid att smälta en del kunskap. 
Tack för svaret 😊

Vår lärare kallade gränsvärdesräkning för det femte räknesättet. Där finns en del smarta knep som man inte kommer på själv så lätt.

Tomten skrev:

Texten i uppgiften föreslår dock att skriva gv som en derivata.

Jo det är sant, men det tar fortfarande emot lite att erkänna. 🤔

Behöver lite mer betänketid ☺️

Haha, du tar det som en Man

Mogens skrev:

Haha, du tar det som en Man

Tack! :)

Du kanske tycker det är mer naturligt med en sub Conny? 

$t=x-\dfrac{\pi}{2} \iff x=t+ \dfrac{\pi}{2} \implies t \rightarrow 0$

Nu får vi:

$\dfrac{\cos (t + \dfrac{\pi}{2})}{t}=\dfrac{-\sin t}{t}$

Och detta är ett standardgränsvärde eftersom $t \rightarrow 0$.

Nu fuskade vi så klart och löste inte uppgiften enligt specifikationerna. Men det kan vara nyttigt att också se hur man hade kunnat lösa den utan definitionen.

Om du ser ett gränsvärde som en kvot på samma sätt som ovan så kan du räkna med att definitionen gömmer sig där bakom. Att lägga till och dra ifrån är något du lär dig med tid. Först måste man se de några gånger, sedan måste man applicera det. Sedan är det något man bara ser. 

Dracaena skrev:

---

Om du ser ett gränsvärde som en kvot på samma sätt som ovan så kan du räkna med att definitionen gömmer sig där bakom. Att lägga till och dra ifrån är något du lär dig med tid. Först måste man se de några gånger, sedan måste man applicera det. Sedan är det något man bara ser. 

Tack Dracaena!
Det här var vad jag behövde just nu för att få lite hopp om mina möjligheter att klara kursen "Envariabelanalys"

Att använda substitution var ett intressant förslag. 
Två saker tog en liten stund att se för mig. Additionsformeln för cos(u+v) och formeln $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$men när jag väl såg det så insåg jag att det ligger mycket i det du skrev ovan. Så jag lär mig nog att se med tiden.

Det är tydligen rätt mycket man ska komma ihåg på framtida tentor. Hur är det med härledningarna? En del börjar jag kunna, men det är verkligen många nya att lära sig. Är det bara att "bita i det sura äpplet" och försöka komma ihåg så många som möjligt?

ConnyN skrev:

Två saker tog en liten stund att se för mig. Additionsformeln för cos(u+v) ....

Så kan man också göra, men det är ett vanligt samband som man antingen minns eller kan härleda geometriskt via enhetscirkeln. 

ConnyN skrev:

Det är tydligen rätt mycket man ska komma ihåg på framtida tentor. Hur är det med härledningarna? En del börjar jag kunna, men det är verkligen många nya att lära sig. Är det bara att "bita i det sura äpplet" och försöka komma ihåg så många som möjligt?

Beror på vilket betyg man satsar på. När jag skrev min tentamen i envariabelanalysen för lite mer än två år sedan så var det ungefär 2-3 bevis med på tentamen. Har för mig det var beviset för partial integration, något standardgränsvärde och dylikt.

Lite är det ju att lägga på minnet. Jag såg till att jag hade alla bevis för standardgränsvärden som typ sinx/x (de geometriska beviset) och alla maclaurinutvecklingar memorerat. Andra bevis hade man övat så att de satt också. Men om man förstår matematiken så är det mycket mindre att lägga på minnet eftersom det är väldigt logiskt och man vet precis hur man ska härleda det. Du som ändå inte kommer ta en tentamen i envarren kanske inte borde fokusera på bevis. Jag tycker du ska kika på de och forsöka förstå det, men inte lägga så mycket tid på att ha det memorerat. Du kommer inte direkt ha anvädning av det. :)

Tack för tipsen. Värdefullt för mig som inte har någon att fråga. Det var lite dumt sagt förstås, med tanke på att jag är medlem här på pluggakuten så har jag ju många att fråga 😊
Vad gäller tentor så ingår de i kursen. Jag får visserligen rätta själv, men jag är ganska sträng. Mitt mål är att ligga straxt under toppen. Där har jag lyckats hålla mig för det mesta. Någon A-student är jag definitivt inte. 
En avvikelse från de riktiga tentorna tillåter jag och det är att jag får dela upp tentan på flera dagar. Under det villkoret att jag avslutar den uppgift jag börjat med och inte läser nästa i förväg. Som pensionär kan jag unna mig den lyxen. Jag gjorde några prov på gymnasienivån med klocka och bestämd tid, men det är inte roligt och mina studier gör jag för att må bra och trivas med livet så därför struntar jag i det villkoret.
Tentamen ingår dock inte som du konstaterar och det är jag nog glad för. Mitt mål är för närvarande matte och fysik "undergraduate" vilket väl är ungefär vad man läser första året i Sverige om jag fattat rätt. Om jag är klar före min 80-årsdag får jag nog vara glad. Jag fyller straxt 70. En stor inspirationskälla är pluggakuten. Ibland blandar jag mig väl i trådar jag inte riktigt har förstått, men hoppas att ni kan ha överseende med det och jag ska försöka undvika att göra det.