Gränsvärde till trippelintegral

"Låt $A_{a} = \{(x, y, z) : |x| < a, |y| < a, |z| < a\}$ vara ett område i $ℝ^{3}$ .

Bestäm:

$\lim_{a \to 0} I (a)$

där $I (a) = ∭_{A_{a}} \frac{d x d y d z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$ "

Ok så jag har räknat lite och kommit fram till en lösning som jag skulle vilja ha era synpunkter på. Typ om jag gjort nån tankevurpa eller nåt i den stilen:

Om $f (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$ så är $I (a) = ∭_{A_{a}} f (x, y, z) d V$ .

Enligt medelvärdessatsen har vi att:

$I (a) = f (x_{0}, y_{0} z_{0}) \cdot V_{A_{a}}$ där V är områdets volym och $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ är en punkt som existerar på området.

Området är en kub i $ℝ^{3}$ med sidolängder $2 a$ .

Volymen blir därför $8 a^{3}$

$0 \leq I (a) \leq \lim_{a \to 0} f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot 8 a^{3} = 0 \Rightarrow \lim_{a \to 0} I (a) = 0$

Kan du använda medelvärdessatsen som du gör på ett intervall som innehåller en singulär punkt?

Dr. G skrev:
Kan du använda medelvärdessatsen som du gör på ett intervall som innehåller en singulär punkt?

Om man skriver om det såhär då:

$\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = ρ = f (ρ, φ, θ) I (a) = ∭_{A} \frac{1}{ρ} ρ^{2} \sin (φ) d ρ d φ d θ = ∭_{A} ρ \sin (φ) d ρ d φ d θ m = m i n f M = m a x f V = 8 a^{3} m \cdot V \leq I (a) \leq M \cdot V \lim_{a \to 0} m \cdot 8 a^{3} \leq I (a) \leq \lim_{a \to 0} M \cdot 8 a^{3} 0 \leq I (a) \leq 0$

Typ. Jag borde skriva om volymen i termer av radien och vinklarna, men å andra sidan är väl ändå en integral som är definierad över ett område lika med 0 om sagda område har, i det här fallet, volymen 0?

Du kan ju utöka integrationsområdet till ett klot med radie a√2. Då trillar vinkeldelen bort och du får något proportionellt mot a, så det går mot 0 när a går mot 0. Din sökta integral ligger mellan 0 och integralen över klotet, så den går också mot 0.

Dr. G skrev:
Du kan ju utöka integrationsområdet till ett klot med radie a√2. Då trillar vinkeldelen bort och du får något proportionellt mot a, så det går mot 0 när a går mot 0. Din sökta integral ligger mellan 0 och integralen över klotet, så den går också mot 0.

Ja det har du ju rätt i. Tack för hjälpen!

Fast du får samma instängning som du gjorde, så det funkar ju lika bra.

Svara

Visa senaste svar