Gränsvärde, skiftar tecken, 0*oändligheten

Dina sekvenser måste gå mot noll då k går mot oändligheten. Du kan ju inte ha x på ett ställe och x_k på ett annat ställe i uttrycket.

Om du kan hitta en sekvens x_k med värden skilda från noll sådan att sekvensen x_k går mot noll då k går mot oändligheten, och det samtidigt gäller att sekvensen f(x_k) divergerar, då har har du visat att f(x) divergerar då x går mot noll.

Men det är inte uppfyllt här.

PATENTERAMERA skrev:

Dina sekvenser måste gå mot noll då k går mot oändligheten. Du kan ju inte ha x på ett ställe och x_k på ett annat ställe i uttrycket.

Om du kan hitta en sekvens x_k med värden skilda från noll sådan att sekvensen x_k går mot noll då k går mot oändligheten, och det samtidigt gäller att sekvensen f(x_k) divergerar, då har har du visat att f(x) divergerar då x går mot noll.

Men det är inte uppfyllt här.

Hmm.. Tack. Det är svårt tycker jag. Exempelvis, x_k1 = 1/x^(k), går mot noll då x>1 och k går mot oändligheten. Men sin(x) är ej definierad för x>0 och x går mot 0. Periodiska funktioner? x_k1 = (pi/2) * (1/k)? k tillhör N, där k = 1 är pi/2, sen går den mot noll längs den positiva x axeln, därmed kommer sinus av x_k kontinuerligt alstra mindre tal till storleken, så att x_k går mot 0. När den gör det kommer i båda fallen e^(1/x^2) går mot positiva oändligheten. Samma resonemang kan göras för x_k2 = -(pi/2) * 1/k, varav det följer att gränsvärdet för funktionen i fråga är olika när man närmar det från höger och vänstersida och därmed inte existerar i den punkten, x=0. Är jag helt ute och cyklar eller finns det någon "tillräckligt" hög sanningslikhet till ett möjligt lösningsförslag på likartad form?

blygummi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Dina sekvenser måste gå mot noll då k går mot oändligheten. Du kan ju inte ha x på ett ställe och x_k på ett annat ställe i uttrycket.

Om du kan hitta en sekvens x_k med värden skilda från noll sådan att sekvensen x_k går mot noll då k går mot oändligheten, och det samtidigt gäller att sekvensen f(x_k) divergerar, då har har du visat att f(x) divergerar då x går mot noll.

Men det är inte uppfyllt här.

Hmm.. Tack. Det är svårt tycker jag. Exempelvis, x_k1 = 1/x^(k), går mot noll då x>1 och k går mot oändligheten. Men sin(x) är ej definierad för x>0 och x går mot 0. Periodiska funktioner? x_k1 = (pi/2) * (1/k)? k tillhör N, där k = 1 är pi/2, sen går den mot noll längs den positiva x axeln, därmed kommer sinus av x_k kontinuerligt alstra mindre tal till storleken, så att x_k går mot 0. När den gör det kommer i båda fallen e^(1/x^2) går mot positiva oändligheten. Samma resonemang kan göras för x_k2 = -(pi/2) * 1/k, varav det följer att gränsvärdet för funktionen i fråga är olika när man närmar det från höger och vänstersida och därmed inte existerar i den punkten, x=0. Är jag helt ute och cyklar eller finns det någon "tillräckligt" hög sanningslikhet till ett möjligt lösningsförslag på likartad form?

Vad menar du med att sin(x) inte är definierad för x>0? 

Ett tips.

Undersök 

$$\begin{gathered} \underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})\sin \left(x\right)=\underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})(x+O(x^3\left)\right)= \\ \underset{x \to 0}{\lim }(\frac{1}{2x}+O(x\left)\right) =? \end{gathered}$$

Hur kan detta användas för att lösa problemet som vi står inför?

PATENTERAMERA skrev:

Ett tips.

Undersök 

$$\begin{gathered} \underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})\sin \left(x\right)=\underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})(x+O(x^3\left)\right)= \\ \underset{x \to 0}{\lim }(\frac{1}{2x}+O(x\left)\right) =? \end{gathered}$$

Hur kan detta användas för att lösa problemet som vi står inför?

Fel av mig. Ingen 2:a i nämnaren.

PATENTERAMERA skrev:

Ett tips.

Undersök 

$$\begin{gathered} \underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})\sin \left(x\right)=\underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})(x+O(x^3\left)\right)= \\ \underset{x \to 0}{\lim }(\frac{1}{2x}+O(x\left)\right) =? \end{gathered}$$

Hur kan detta användas för att lösa problemet som vi står inför?

Man får inte använda taylorutvecklingar när man löser problemet. Menade ej lika med noll, i detta sammanhanget, i och med att man får e^1/x^2 som odefinierat.

blygummi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Ett tips.

Undersök 

$$\begin{gathered} \underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})\sin \left(x\right)=\underset{x \to 0}{\lim }(1+\frac{1}{2x^2})(x+O(x^3\left)\right)= \\ \underset{x \to 0}{\lim }(\frac{1}{2x}+O(x\left)\right) =? \end{gathered}$$

Hur kan detta användas för att lösa problemet som vi står inför?

Man får inte använda taylorutvecklingar när man löser problemet. Menade ej lika med noll, i detta sammanhanget, i och med att man får e^1/x^2 som odefinierat.

Oh det är ju snudd på ondska. 

Men jag tänker lite såhär. Eftersom funktionen är udda så måste det väl vara så att om funktionen har ett högergränsvärde a så måste vänstergränsvärdet också existera och vara lika med -a. Det betyder att om funktionen har ett gränsvärde så måste det vara noll.

Om man då kan visa att ett högergränsvärde inte kan vara noll så borde man vara hemma.

Om man beaktar derivatan till funktionen för positiva värden nära 0 så kan man kanske utnyttja medelvärdessatsen för att visa att att ett högergränsvärde omöjligen kan bli noll.

Jag skulle rekommendera ett variabelbyte.$\underset{x\to 0^{+}}{\lim } e^{\frac{1}{x^2}}*\sin \left(x\right)=(t=\frac{1}{x^{}})=\underset{t\to \infty }{\lim } e^{t^2}*\sin \left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$t$}\right.\right)=\underset{t\to \infty }{\lim } \frac{e^{t^2}}{t}*\frac{\sin \left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$t$}\right.\right)}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$t$}\right.}}$. Härifrån klarar du dig med standardgränsvärden. Du kan göra liknande med vänstergränsvärdet, men då går t mot negativa oändligheten

parveln skrev:

Jag skulle rekommendera ett variabelbyte.$\underset{x\to 0^{+}}{\lim } e^{\frac{1}{x^2}}*\sin \left(x\right)=(t=\frac{1}{x^{}})=\underset{t\to \infty }{\lim } e^{t^2}*\sin \left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$t$}\right.\right)=\underset{t\to \infty }{\lim } \frac{e^{t^2}}{t}*\frac{\sin \left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$t$}\right.\right)}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$t$}\right.}}$. Härifrån klarar du dig med standardgränsvärden. Du kan göra liknande med vänstergränsvärdet, men då går t mot negativa oändligheten

Tack!