gränsvärde saknas

Hej

jag behöver hjälp för att bevisa att följande uttryck inte har något gränsvärde:

$\frac{l i m}{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} + y^{2}}{y}$

uttryckt i polära koordinater får vi då $\frac{l i m}{r \to 0} \frac{{(r \cos θ)}^{2} + {(r \sin θ)}^{2}}{r \sin θ}$

Sedan ska man alltså visa att uttrycket inte har något gränsvärde. Som jag ser har dom i svaret satt $\frac{l i m}{r \to 0} \frac{r^{2}}{r \sin θ} = \frac{l i m}{r \to 0} \frac{r}{\sin θ}$ men jag förstår inte riktigt hur man ska visa att vi får två olika gränsvärden för att kunna bevisa att det inte finns något gränsvärde.

Ett alternativt sätt var tydligen att sätta f(k)= $x^{2}$ och få $\frac{l i m}{k \to 0} \frac{k^{2} + y^{4}}{k^{2}} = \frac{l i m}{k \to 0} k^{2} + 1 = 1$

och för värdet f(k)=x få $\frac{l i m}{k \to 0} \frac{k^{2} + y^{2}}{k} = \frac{l i m}{k \to 0} 2 k = 0$

men jag är inte helt med på hur dom gör.

Om gränsvärdet existerar, så måste gränsvärdet ha samma värde oberoende av från vilket håll man närmar sig origo. Ditt facit visar att ett visst val av hur man närmar sigorigo ger ett visst värde på gränsvärdet, men ett annat sätt att närma sig origo ger ett helt annat värde på gränsvärdet. Alltså kan integränsvärdet existera.

Hej!

Vinkeln $\theta$ får lov att bero på radien $r.$

Låt funktionen $\theta_{1}(r)$ vara sådan att när $0 < r < 1$ så är $\sin \theta_{1}(r) = r$ . Då blir gränsvärdet lika med $1.$

Om du istället låter funktionen $\theta_{2}(r)$ vara sådan att när $r$ är liten så är $\sin \theta_{2}(r) = 0.5r$ så blir gränsvärdet lika med $2.$

Eftersom du får olika gränsvärden beroende på längs vilken kurva punkten $(x,y)$ närmar sig origo så existerar gränsvärdet inte.

Albiki

okej så om vi då alltså har $\frac{l i m}{r \to 0} \frac{r^{2}}{r \sin θ}$ och förkortar bort ett r så får vi $\frac{l i m}{r \to 0} \frac{r}{\sin θ}$ och då beror gränsvärdet på vilket värde $\sin θ$ kan anta och vi får inte ha olika gränsvärden.

Svara

Visa senaste svar