gränsvärde problem

Prova t = 1/x. Sedan finns det några olika varianter, t.ex taylorutveckling 

Hej,

Täljaren kan skrivas $f(2/x)-f(0)$ och nämnaren $g(1/2x)-g(0)$ för funktioner

    $f(t) = e^t$ och $g(t) = \ln (1+t)$.

Lagranges medelvärdessats ger att täljaren kan skrivas

    $f^\prime(c_x) \cdot (2/x-0)$

och nämnaren kan skrivas

    $g^\prime(d_x) \cdot (1/2x - 0)$

där $0<c_x<2/x$ och $0<d_x<1/2x$; när $x\to \infty$ ser du att $c_x \to 0$ och $d_x \to 0$.

Derivatorna $f^\prime(t) = e^t$ och $g^\prime(t) = \frac{1}{1+t}$ är kontinuerliga i $t=0$ vilket ger att

    $f^\prime(c_x) \to f^\prime(0) = 1$ och $g^\prime(d_x) \to g^\prime(0) = 1$ när $x\to\infty$,

så att kvoten närmar sig talet 4.

    $\displaystyle\frac{f(2/x)-f(0)}{g(1/2x)-g(0)} = 4\cdot \frac{f^\prime(c_x)}{g^\prime(d_x)} \to 4\cdot 1$ då $x\to \infty.$

Jag låter dig ta hand om gränsvärdet då $x\to -\infty$.