Gränsvärde på delmängd

Uppgiften är

beräkna gränsvärdet

$\lim_{(x, y) \to \infty} x y (x + y - 2)$

med definitionsmängd $D_{f} = \{(x, y) : | y - x | < 1, x, y > 0\}$

Min första fråga är : brukar man ej skriva $x^{2} + y^{2} \to \infty$ ?

Annars har jag tänkt att om det är samma sak så kanske man kan uppskatta funktionen och sedan använda sig av olikhet med en enklare funktion och med räkneregler för gränsvärden visa vad det blir.

Jag tycker det blir väldigt oändligt. Ser uppgiften verkligen ut så?

Laguna skrev:
Jag tycker det blir väldigt oändligt. Ser uppgiften verkligen ut så?

dumt av mig att inte skriva av uppgiften direkt kanske, jag kan ju ha missförstått. Här är den iaf

Att $(x, y) \to \infty$ brukar man bara tolka som att vi rör oss oändligt långt bort från origo $(0, 0) .$ Så du kan se det som avståndet från origo, $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ i vanliga $ℝ^{2}$ .

Angående b) så gäller att definitionsmängden är ekvivalent med området $D'_{f} = {(x, y) : x - 1 < y < 1 + x, x, y > 0}$ . Vi befinner oss alltså i första kvadranten och inom en smal "stråle" med "kanterna" $y = x - 1$ och $y = x + 1$ .

Hjälper detta dig?

Moffen skrev:
Att $(x, y) \to \infty$ brukar man bara tolka som att vi rör oss oändligt långt bort från origo $(0, 0) .$ Så du kan se det som avståndet från origo, $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ i vanliga $ℝ^{2}$ .
Angående b) så gäller att definitionsmängden är ekvivalent med området $D'_{f} = {(x, y) : x - 1 < y < 1 + x, x, y > 0}$ . Vi befinner oss alltså i första kvadranten och inom en smal "stråle" med "kanterna" $y = x - 1$ och $y = x + 1$ .
Hjälper detta dig?

Jag tänker att jag kan då se att xy(y+x-2) > x(x−1)((x−1)+x−2) som går mot oändligheten då x går mot oändligheten

och xy(y+x-2) < x(x+1)((x+1)+x-2 som också går mot oändligheten. Och enligt instägnigsregeln (squeeze theorem) så går även xy(y+x-2) mot oändligheten? Men kanske inte är korrekt?

Svara

Visa senaste svar