Gränsvärde och LN

Dkcre skrev:

[...]

Varför är $\frac{2^h-1}{h}$när h går mot noll logaritmen för talet e för att få värdet 2?

[...]

Skriv täljaren som $2^{0+h}-2^0$.

Då känner du igen gränsvärdet som $f'(0)$ då $f(x)=2^x$.

Eftersom derivatan av $2^x$ är $2^x\cdot\ln(2)$ så blir grönsvärdet $2^0\cdot\ln(2)=\ln(2)$

Hej Yngve,

Ja, jag förstår det.

Men varför är detta gränsvärde för alla baser exponenten för talet e för att det ska bli 2? $e^{gränsvärde för 2} = 2$

Många verkar nämna kedjeregeln, kan det hjälpa mig om jag lär mig det?

Dkcre skrev:

Hej Yngve,

Ja, jag förstår det.

Men varför är detta gränsvärde för alla baser exponenten för talet e för att det ska bli 2? $e^{gränsvärde för 2} = 2$

Undrar du varför e^ln(2) = 2?

Och vad menar du med "alla baser"?

Om man deriverar en exponentialfunktion med basen exempelvis: $2^x$, eller man skriver väl då: $a^x$egentligen för alla baser.

Så får man ju att funktionen för derivatan generellt för en exponentialfunktion i den här formen är: f'(x): $\underset{h\to 0}{\lim } a^x\frac{(a^h-1)}{h}$

Så med andra ord är derivatan lika med värdet av den ursprungliga funktionen multiplicerat med en konstant som är då gränsvärdet för den basen man använder.

Om vi nu då antar att vi inte vet vad LN innebär, utan man experimenterar bara, så vill man leta på den basen som kan använda gränsvärdet vi räknade fram tidigare som exponent, för att bli den basen vi använde för det gränsvärdet. Hur förstår man att det är just talet e det måste vara som är den basen.

**

Vi säger att man räknar fram att gränsvärdet när h går mot 0 är 1 för talet e: $\frac{e^h-1}{h} = 1$

Sen räknar man fram det för, vi säger 2, när h går mot 0: $\frac{2^h-1}{h} = 0.69$

Hur förstår jag nu härifrån intuitivt att ja, självklart, I och med att gränsvärdet för talet e blir 1 och derivatan är då helt enkelt värdet av den funktionen, så kan det naturligtvis användas som bastalet där jag kan använda gränsvärdena för olika baser som exponent, för att "hitta tillbaka" till den basen. Exempelvis nu $e^{0.69} = 2$. Jag vet att man föredrar att man uttrycker frågor matematiskt men jag kan inte förmedla det jag vill säga på det sättet.

Varför kan LN härledas utifrån gränsvärdet för olika baser? Varför är det logiskt? 

(Oklart om du redan förstått detta eller om jag svarar på din fråga. Jag ursäktar om det är det förstnämnda.):

Funktionen e^x och dess derivata är så väldigt praktiska att när det kommer till derivator av exponentialfunktioner med en annan bas a så skrivs den om med basen e: 

a=e^ln(a) vilket gör att a^x=(e^ln(a))^x=e^ln(a)*x

Derivatan av e^ln(a)*x blir sedan enligt ditt formelblad (och kedjeregeln) e^ln(a)*x * ln(a)=a^x * ln(a)

Hej Potato,

Ja, det förstår jag fullt ut. Men ln(a) råkar också vara gränsvärdet för basen a samtidigt som det så är, ja, logaritmen för basen e till a.

Gränsvärdet för en bas talar ju om för oss vad ln är för att få den basen. Hur kan det vara så. 

Varför gäller det sambandet, hur kan man förklara varför det gäller.

Vad menar du med "gränsvärdet för en bas"?

Dkcre skrev:

Hej Yngve,

Ja, jag förstår det.

Men varför är detta gränsvärde för alla baser exponenten för talet e för att det ska bli 2? $e^{gränsvärde för 2} = 2$

[...]

Undrar du varför $\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$ är lika med $\ln(a)$?

Om ja, är det något med själva deriveringsregeln $D(a^x)=a^x\cdot\ln(a)$ som du undrar över?

Hej Yngve,

Ja, jag undrar varför det är samma sak.

Jag förstår regeln så jag undrar ingenting där.

Jag undrar varför ln(a) är samma sak som lim a^x. Jag ser att det är så och förstår hur jag ska använda det. Men hur råkar det komma sig att gränsvärdet och ln är samma sak 

Dkcre skrev:

Hej Yngve,

Ja, jag undrar varför det är samma sak.

Jag förstår regeln så jag undrar ingenting där.

OK, då utgår vi från deriveringsregeln.

Säg att vi har en funktion $f(x)=a^x$

Deriveringsregeln säger oss att $f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$

Santidigt har vi, enligt derivatans h-definition, att $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=$

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}=a^x\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$

Om vi nu sätter dessa två uttryck för $f'(x)$ lika med varandra får vi

$a^x\cdot\ln(a)=a^x\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$

Detta ska gälla för alla värden på $x$, vilket ger oss $\ln(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$

Är det så att du är ute efter en mer intuitiv förståelse, så att man kanske kan inse direkt att likheten är sann om man formulerar begreppen på rätt sätt i ord?

Det enda jag kan erbjuda är att när man byter bas från e till något annat tal a, så kan man se det som att man ändrar skalan för x, eftersom a^x = e^xln(a). Det är därifrån ln(a) kommer.

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Hej Yngve,

Ja, jag undrar varför det är samma sak.

Jag förstår regeln så jag undrar ingenting där.

OK, då utgår vi från deriveringsregeln.

Säg att vi har en funktion $f(x)=a^x$

Deriveringsregeln säger oss att $f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$

Santidigt har vi, enligt derivatans h-definition, att $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=$

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}=a^x\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$

Om vi nu sätter dessa två uttryck för $f'(x)$ lika med varandra får vi

$a^x\cdot\ln(a)=a^x\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$

Detta ska gälla för alla värden på $x$, vilket ger oss $\ln(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$

Tack så mycket Yngve, jag är med så långt.

Skulle vilja formulera det här sambandet med ord, vad det betyder. 

Laguna skrev:

Är det så att du är ute efter en mer intuitiv förståelse, så att man kanske kan inse direkt att likheten är sann om man formulerar begreppen på rätt sätt i ord?

Det enda jag kan erbjuda är att när man byter bas från e till något annat tal a, så kan man se det som att man ändrar skalan för x, eftersom a^x = e^xln(a). Det är därifrån ln(a) kommer.

Hej, ja, exakt! Det är precis vad jag är ute efter. Om det gick att formulera det så att ett barn konceptuellt förstår det hur gränsvärdet för en bas kan vara detsamma som ln för den basen. Tänker att annars förstår man (jag) det inte riktigt fullt ut.

Fick någon spontan tanke som jag inte utforskat än om det gick att använda sig av ett flygplan som är uppbyggt av a antal delar, som startar och lyfter, och stegringen för det planet är proportioneligt till hur många delar planet är uppbyggt av. Och gränsvärdet, eller förhållandet egentligen, för stegringen av ett plan med antal delar a, är exponenten för det plan som är uppbyggt av precis rätt antal delar så att stegringen och höjden är lika varandra. Det är förhållandet mellan dessa plan. Och då ena är lika med sig själv så kan alla jämföras eller utgå ifrån det planet. Av någon anledning.. och på något sätt..

Tänkte försöka spinna vidare på det och bygga någonting :p 

Dkcre skrev:

Tack så mycket Yngve, jag är med så långt.

Skulle vilja formulera det här sambandet med ord, vad det betyder. 

Kanske så här?

"Den räta linje som tangerar exponentialfunktionen f(x) = a^x vid x = 0 har lutningen ln(a)".

Ja kanske, måste fundera någon dag eller två igen. Ska tänka på det där med skalan Laguna nämner. 

Skrev ett ganska långt inlägg precis om hur man kan tolka talet e^ något x och förstå förhållandet till gränsvärden för andra baser... tror jag hade hade en bra förklaring även jag begriper. Men Sidan hängde sig. Underbart. Får skriva om det imorgon. Tänker väldigt bra när jag skriver egentligen, undra om jag ska börja göra det överlag till mig själv när jag försöker förstå någonting. Lättare att formulera saker i ord och sedan uttrycka det matematiskt tycker jag.

Visst kan man visa att funktionen  f(x) = $\frac{x^h-1}{h}$med h mot 0 beter sig logaritmiskt också? och sedan härleda det därifrån till talet e. Inget jag kan men.

Ja, jag vet inte.

Ser det som att en exp function representerar hur någonting växer, använder vi basen e kan vi modellera någonting som växer i direkt proportion till sig själv. Man skulle kunna se e då som 1. e upphöjt till någonting är perioden. Så e^1 är en period för någonting som växer i direkt proportion till sig själv..

Då proportionskonstanten är definerad via gränsvärden, som beskriver hur någonting växer i förhållande till sig själv, och e representerar 1, kan man skala 100% tillväxt i förhållande till sig själv med en annan proportionskonstant.

Om man väljer att se $a^h$som ett sammansatt tal och inte en bas med en exponent, så kan man se det som en tillväxtfaktor man kan multiplicera någonting med. Tar man gränsvärdet för exempelvis 2^h så får man tillväxtfaktor 0.69. Känns knöligt att räkna med en sådan tillväxtfaktor. Har man någonting med en massa av 2 exempelvis och vill veta när den har dubblerat sig kan man istället ta 2 *e^ln2. ln2 är då tiden det tar för massan två att dubblera sig vid 100% tillväxt till sig självt.

Varför är e^ en tillväxtfaktor detsamma som tid... nej, varför skulle tillväxtfaktor helt plötsligt kunna defineras som tid istället.. tillväxtfaktorn för en annan bas är lika med tiden för basen e, på något sätt

Ingen som kan förklara den? Varför gränsvärdet för $a^n$ representerar förändringshastighet, men när man använder det som en exponent för basen e så är det rimligare att se det som tid istället? :/ Eller jag kanske har fel. Fast förändringshastighet är väl synonymt med tid kanske

Dkcre skrev:

Ingen som kan förklara den? Varför gränsvärdet för $a^n$ representerar förändringshastighet, men när man använder det som en exponent för basen e så är det rimligare att se det som tid istället? :/ Eller jag kanske har fel. Fast förändringshastighet är väl synonymt med tid kanske

Jag kan försöka förklara, men då måste jag först förstå vad det är du frågar efter.

1. Vad menar du med "gränsvärdet för $a^n$"?
2. Vad menar du med att "det används som exponent för basen e"?

Hej igen Yngve,

 1. Jag menar detsamma som innan, gränsvärdet för vilken exp funktion som helst när x är 0 och h går mot 0. Exempelvis (2^h-1)/h  = 0.69. Sen byter man ut 2 där då mot vilket värde som helst.

2. Talet e upphöjt till föregående gränsvärde är lika med den basen. Så i det här fallet e^0.69 är = 2. Så gränsvärdet och ln visar sig vara precis samma sak.

Dkcre skrev:

 1. Jag menar detsamma som innan, gränsvärdet för vilken exp funktion som helst när x är 0 och h går mot 0. Exempelvis (2^h-1)/h  = 0.69. Sen byter man ut 2 där då mot vilket värde som helst.

OK. I svar #18 skrev du "gränsvärdet för $a^n$", men det du egentligen menade var alltså följande gränsvärde: $\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}$.

Jag blev förvirrad dels av att exponenten nu var $n$ istället för $h$, dels av att du skrev "gränsvärdet för $a^n$" utan att ange vilket gränsvärde det var.

(Det finns inte bara en sorts gränsvärden.)

Vi har tidigare kommit fram till att $\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=\ln(a)$. 

Eftersom detta gränsvärde är lika med derivatan av funktionen $f(x)=a^x$ då $x=0$ så representerar gränsvärdet förändringshastigheten hos funktionen $f(x)$ då $x=0$.

2. Talet e upphöjt till föregående gränsvärde är lika med den basen. Så i det här fallet e^0.69 är = 2.

Ja, enligt logaritmlagarna gäller det att $e^{\ln(a)}=a$. 

Så gränsvärdet och ln visar sig vara precis samma sak.

Du uttrycker dig otydligt. "ln" är en funktion och inte ett värde.

Men du har rätt i att det ovan nämnda gränsvärdet är lika med logaritmen för basen.

=====

Jag vet inte om jag har lyckats förklara något av det som du undrar över?

Jag undrar varför basen e är basen för gränsvärdena du visade där. Brukar man inte skriva e^ln(2) exempelvis. Jag menar e^alla gränsvärden som man kan räkna fram på det sättet vi gjorde tidigare.

Om du menar att derivatan av funktionen f(x) = a^x = e^ln(a)x är f'(x) =  ln(a)^.a^x har värdet lna när x är lika med 0 (eller när x går mot 0) så har du helt rätt. Det gäller ju för alla värden på a att a⁰ = 1.

Ja, men varför…

Om man deriverar en exponentialfunktion f(x) = a^x får man en annan exponentialfunktion. För en del värden på a är derivatan f'(x) < f(x) för alla värden på x, för andra värden på a är f'(x) > f(x) för alla värden på x. För ett enda värde på a är f'(x) = f(x). Detta mycket speciella värde på a kallar vi för e, och det har värdet 2,718281828 ungefär.

För alla andra värden på a gäller det att f'(x) = ln(a)a^x. Om vi stoppar in x = 0 i derivatan får vi f'(0) = ln(a)e⁰ = ln(a)^.1 = ln(a).

Okej, men eftersom e representerar värdet 1 då, så är det rimligt att kan skalas till andra baser genom deras gränsvärden då X är 0. Hur kan man visa det matematiskt?

Du kan skala om logaritmer mellan olika baser enligt följande $l{g}_a\left(x\right)=\frac{l{g}_b\left(x\right)}{l{g}_b\left(a\right)}$, där lg_a betecknar logaritmen med basen a.

Såhär då.

F(x) = ${\log }_a\left(x\right)$

f'(x) = $\underset{h->0}{\lim }$$\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_a\left(x\right)}{h}$

f'(x) = $\underset{h->0}{\lim }\frac{1}{h} ={\log }_a\frac{(x+h)}{x}$

f'(x) = $\underset{h->0}{\lim }\frac{1}{h} {\log }_a(1+\frac{h}{x})$

sätt t = $\frac{h}{x}$och när h går mot 0 går t mot 0. Då är också $\frac{1}{h} = \frac{1}{tx}$

f'(x) = lim t-0 $\frac{1}{tx}$${\log }_a(1+t)$

f'(x) = $\frac{1}{x}\underset{t-0}{\lim }\frac{1}{t}{\log }_a(1+t)$

f'(x) = $\frac{1}{x} \underset{t-0}{\lim } {\log }_a{(1+t)}^{(1/t)}$

f'(x) = $\frac{1}{x}={\log }_a \underset{t-0}{\lim } {( 1+t)}^{(1/t)}$

Nu är jag inte intelligent nog för att kunna följa det här, jag kan inte tolka matematiska uttryck på den här nivån utan det bara börjar snurra i huvudet på mig på en gång, förstår inte vad det står. Kanske begriper om jag översätter alla symboler till faktiska värden så kan det gå att förhålla sig till.

Mycket bra jobbat.

Det sista gränsvärdet du tog fram liknar väldigt mycket definitionen av talet e!

Detta ser du genom att definiera en ny variabel k=1/t, då kommer gränsvärdet vara k->inf och du får precis definitionen av e.

Hej calle, tack men det är inte skrivet av mig  :) men kanon, får studera det i detalj så det blir begripligt.

Säg till om det är något steg du fastnar på. Annars är det där ett bra sätt att se att derivatan till lg_a(x) är lg_a(e)/x.

Om du sedan sätter a=e får du att derivatan till ln(x) är 1/x.

Tack! Jag ska ändra variablerna till faktiska värden imorgon så jag kanske kan förhålla mig till det.

****************

Annars är jag lite nyfiken på hur andra tolkar matematisk information skriven algebraiskt sådär, hur ska det koppla när man läser det?

Är det att kunna förhålla sig till abstraktionen att det är tal skrivna som symboler, och sedan avläsa det precis som att man ser en massa mängder som flyttas runt, och man liksom ser kvantiteterna framför sig i alla fall?

Eller är det att de matematiska reglerna är så förankrade att man kan följa stegen logiskt på det sättet och se att all manipulation hamnar inom regelverket? "jaja, där står det ju lg(x⋅y), det vet jag att det kan skrivas lgx + lgy för det är en regel, där har dom använt sig av den.." 

Eller är det mer att bara kunna se logiken i stegen? "okej där har man definerat en variabel 1/t framför logtecknet som tidigare definerades utifrån h/x när h går mot 0, och då kunde man även skriva om det som 1/tx naturligtvis och sedan bryta ut 1/x utifrån det i nästa steg, och sedan i nästa steg välja att sätta upp det här som en exponent ovanför parantesuttrycket istället, självklart".

****************

Jag ser bara en massa tecken som man slänger runt på olika sätt i en viss följd av någon anledning, Det säger mig väldigt lite. Som dyslexi eller någonting.

Vet inte varför, eller om jag kan göra någonting åt det. Men tänker mig att man kan skriva om det med kvantiteter som exempel kanske ett 30-tal gånger och kommunicera varje steg verbalt och med så många olika formuleringar man kan, och sedan skriva om det igen algebraiskt och använda sig av samma verbala översättningar så man liksom kan, ja, se det som en förlängning av det egna språket egentligen, fast skriven matematiskt. 

Tänkte på definitionen av 'e' utifrån maximal kontinuerlig ränta på ränta effekt under en tidsperiod, alltså: $\underset{h\to \infty }{\lim } {(1+\frac{1}{h})}^h$

Om man tar den definitionen, och fortfarande låter h gå mot oändligheten inom parantesen, men man skalar h i exponenten med en faktor, typ: 

$\underset{h\to \infty }{\lim }{(1+\frac{1}{h})}^{h*0.6931}$

Så skulle man kunna tolka det här som maximal tillväxt i förhållande till sig själv, men som inte hinner växa en hel period. På det viset får vi ju att ln representerar tid.

${(1+\frac{1}{10000})}^{(10000*0.6931)} = 2$

${(1+\frac{1}{10000})}^{(10000*2.302)}= 10$

Jag förstår det här, i alla fall. Sen vill man kunna visa härifrån varför gränsvärdet för en funktion f(x) = $a^x$ I punkten där x är = 0 är detsamma som naturliga logaritmen för basen a. Det är helt enkelt för svårt för mig att göra det än så länge men jag finner kopplingen mellan dessa tillfredställande, så jag tror jag är nöjd.

$$\begin{gathered} \underset{h\to \infty ,}{\lim } \underset{t->0}{\lim } \\ {(1+\frac{1}{h})}^{h^{\frac{(2^t-1)}{t}}} \\ \ln {(1+\frac{1}{h})}^{h^{\frac{(2^t-1)}{t}}} \\ \left(\frac{2^t-1}{t}\right)(h\left(\ln \right(1+\frac{1}{h}\left)\right) ) \\ \left(\frac{2^t-1}{t}\right)1 = 0.69 \\ {e}^{0.69} = 2 \end{gathered}$$

Okej nu vet jag att det där grundar sig i att ln redan är definerat samt man hade bara kunnat evaluerat $2^{t }$ uttrycket på en gång för att få fram = 2 och att det är otroligt basic utfört men.. Jag kan inte bättre och det är framsteg i alla fall. 

Sedan när man börjar med integraler och derivatan av funktionen ln och kedjeregeln etc kan man väl se helheten på ett annat sätt. Och så går det väl att se att funktionen f(x) = ln(x) är logaritmisk i sitt beteende utifrån.. kedjeregeln? eller någonting.. Så kan man använda sig av det osv..