Gränsvärde och absolutbelopp

Hej!

Jag har problem med två uppgifter. Första är $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{2} + 1})$ och andra är $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{2} + 1})$ .

På båda började jag med att förlänga med konjugatet och sedan förkorta med $\sqrt{x^{2}}$ och då fick jag fram $\lim_{x \to - \infty} (\frac{\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}})$ och $\lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}})$ .

Nämnaren ser jag går mot 2 då $x \to \pm \infty$ och sista termen i täljaren ser jag går mot 0. Jag vet dock inte vad jag ska göra med $\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}}}$ . Är det samma sak som $\frac{3 x}{|x|}$ ? Var går den när x $\to - \infty$ och när x $\to \infty$ ?

Rätt svar på första ska vara uppgiften är $\frac{- 3}{2}$ och rätt svar på andra är $\frac{3}{2}$ .

Ja, $\sqrt{x^2}=|x|$ . Bryt ut x och förkorta - tänk på att det blir olika tecken när du tar bort absolutvärdet beroende på om x går mot positiva eller negativa oändligheten.

Hej!

Om du förlänger med lämpligt konjugatuttryck och använder Konjugatregeln så kan du exempelvis skriva

$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1} = \frac{(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}} = \frac{3x-1}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}}\ .$

Om absolutbeloppet $|x|$ är ett stort tal så är

$\sqrt{x^2+3x} = |x| \cdot \sqrt{1+\frac{3}{x}} \approx |x|$

och

$\sqrt{x^2+1} = |x| \cdot \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \approx |x|$

vilket ger att

$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1} \approx \frac{3x-1}{2|x|} = \frac{3}{2} \cdot \text{sign(x)} - \frac{1}{2|x|} \approx \frac{3}{2} \cdot \text{sign(x)}\ ,$

där signum-funktionen $\text{sign}(x) = 1$ om $x > 0$ och $\text{sign}(x) = -1$ om $x < 0\ .$

Albiki

Svara