Gränsvärde +-oändlighet

e^3x kommer gå mot 0 mycket snabbare än x^3-2 hinner drifta iväg mot minus oändligheten. Vet inte exakt hur noga du måste svara på uppgifterna. Skall du motivera det mer än så? Man kan också mutliplicera in e^3x och inse att alla termer går mot 0.

0*infty är inte väldefinierat när det kommer till gränsvärden.

Jag ska räkan ut detta för att skissa en graf. 

Jag ska alltså tänka att e upphöjt i något neg kommer närma sig 0 desto större talet är?

Men då blir det 0*oändlighet som alltså då inte är definierat? 

Om du gör variabelbytet x=-y så får du en kvot istället, som brukar räknas som standardgränsvärde.

$$\begin{gathered} (-y^2-2)e^{-y3} \\ \frac{(-y^2-2)}{e^{3y}} \end{gathered}$$

då tänker jag att det skulle bli som $\frac{-\infty }{0}$. 

Omskrivningen är rätt, utom att en ^3 blev till 2 istället. Men y går mot pos oändlighet när x går mot negativ, så du har i princip y/e^y mot oändligheten. Det går mot 0 för att nämnaren växer mycket snabbare. Det bråket brukar stå i boken och kallas för tex standardgränsvärde eller hastighetstabell.

ett annat standardgränsvärde är att e^x -> 0 då x -> minus oändligheten.

Men då blir det 0*oändlighet som alltså då inte är definierat? 

det stämmer att det är odef men det kommer du inte få eftersom e^3x hinner ta sig till 0 mycket snabbare än den andra termen blir oändlig. Du hade också kunnat bertäkna det som: $e^{3x}x^3-2e^{3x}$, när x -> minus oändligheten kommer du att få $0-0=0$ och där är du färdig. Som Micimacko nämner finns det en hasithetstabell, exempelvis växer ln(x) till oändligheten men mycket sakta. x växer mycket snabbare än ln(x) och därför är ln(x)/x = 0 då x går mot oändligheten osv.

Hej,

• Om $x>2$ så är $x^3-2 > 6$ och då följer det att $6e^{3x} < (x^3-2)e^{3x}$.

    Låter du nu $x \to \infty$ på båda sidor om olikheten ser du varför gränsvärdet

        $\lim_{x\to\infty} (x^3-2)e^{3x}$ inte existerar;

    jag skriver "inte existerar" eftersom symbolen $\infty$ ej betecknar något tal som gränsvärdet kan närma sig.

• Om $x<-2$ så är $x^3-2 < -10$ och multiplicerar du olikheten med det positiva talet $e^{3x}$ får du $(x^3-2)e^{3x}<-10e^{3x}$. Låter du nu $x\to-\infty$ på båda sidor om olikheten får du resultatet

        $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x^3-2\right)e^{3x} \leq \lim_{x\to-\infty}-10e^{3x} = 0.$

Det återstår att visa att $0 \leq (x^3-2)e^{3x}$ när $x<0$.

Korrigering: Det återstår att visa att

    $0\leq\lim_{x\to-\infty}(x^3-2)e^{3x}$.