Gränsvärde när x går mot oändligheten

Det är alltid bra att försöka bryta ut så mycket som möjligt. Vi kan börja med att bryta ut e^x från täljare och nämnare: 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x\left(x^{2019}-e^x\arctan \left(x\right)\right)}{e^x\left(\left(x^2+\ln \left(x\right)-3e^x\right)\right)}$

Nu kan vi förkorta bort den faktorn, och kvar har vi då $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^{2019}-e^x\arctan \left(x\right)}{\left(x^2+\ln \left(x\right)-3e^x\right)}$. 

För gränsvärden som går mot oändligheten, kan vi dividera med den dominerande faktorn. Här behöver vi veta vilken faktor som växer fortast. I allmänhet är ordningen följande, från snabbast till långsammast: 

• $x!$
• $a^x$, x variabel
• $x^a$, a är konstant
• $\log_a(x)$

Vilken är den dominerande faktorn i gränsvärdet? :)

Är den dominerande e^x?

Japp! Dividera varje term med denna faktor, och åt x gå mot oändligheten. Vad händer? :)