Gränsvärde när nämnaren blir noll

Dividera alla termer med den dominerande faktorn (okej när x går mot ±oändligheten), vilket är x. Då fås uttrycket $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{\cos x}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 1-\frac{\cos x}{x}}}{{\displaystyle 1}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1\right)-\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{\cos x}{x}\right)$, så ja, det går att göra så (om man motiverar steget). 

För att fortsätta, det är tillåtet att göra omskrivningen $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\frac{\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)}$. Vad händer med cos(x) när x går mot oändligheten? :)

Oj, jag tittade ju fel, x går ju inte mot noll utan mot oändligheten. Ursäkta!

1) Jag skrev om uttrycket på ett annat sätt än du, så för det första undrar jag om man kan göra såhär: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x-\cos x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x}{x}-\frac{\cos x}{x})=\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{\cos x}{x})=\underset{x\to \infty }{\lim }1-\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\cos x}{x}$

2) Isåfall får vi väl att täljaren blir "ett jättelitet tal" (mellan -1 och 1) och nämnaren blir "ett jättestort tal", så då blir kvoten 0, och det stämmer (1-0 = 1, och enligt facit är svaret 1). Men jag vet inte hur man skulle redovisa detta matematiskt; nu har jag ju bara "tänkt ut det".

Det räcker med motivering att cosx alltid ger värden mellan -1 och 1 och att x i nämnaren under vöxer obegränsat.

Tack för det!