Gränsvärde mot -

Jag tycker du krånglar till det med variabelbyten och konjugat.

Vad händer om du tänker enligt följande:

$\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2(1+\dfrac{1}{x})}-x=\lim_{x\to-\infty}\left|x\right|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-x$

Eftersom $x<>$ kommer $|x|$ att vara lika med $-x$:

$\lim_{x\to-\infty}-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-x=\lim_{x\to-\infty}x(-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-1)=...$

Om du gör variabelbytet blir det $x^2 + x \to t^2 - t$ inte $-t^2- t$ eftersom $(-t)^2 = t^2$

Vid konjugatförlägningen får du istället

$\frac{(\sqrt{t^2-t}\;+t)(\sqrt{t^2-t}-t)}{\sqrt{t^2-t}-t}=\frac{t^2-2t}{\sqrt{t^2-t}-t}$

Du borde egentligen ifrågasatt dig själv rätt snabt då $\sqrt{-t^2 - t}$ innebar att vi hade negativa tal under roten och det kan man inte ha i reell analys.

Dominerande term ska fungera men gör om det från rätt startpunkt.

Jag tycker det ursprungliga uttrycket divergerar uppenbart: vi har en monotont stigande rot (men x mellan 0 och -1 ska man inte tänka på) och en en monotont stigande term -x. Deras summa bara växer. Är det rätt på alla tecken i uppgiften? 

Det är möjligt att jag gör, har lärt mig att göra variabelbyte så fort det är minus oändligheten, så det kom instinktivt. Men jag ser din poäng, ska försöka tänka i dom  banorna med, tack

AlvinB skrev:

Jag tycker du krånglar till det med variabelbyten och konjugat.

Vad händer om du tänker enligt följande:

$\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2(1+\dfrac{1}{x})}-x=\lim_{x\to-\infty}\left|x\right|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-x$

Eftersom $x<>$ kommer $|x|$ att vara lika med $-x$:

$\lim_{x\to-\infty}-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-x=\lim_{x\to-\infty}x(-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-1)=...$

SeriousCephalopod skrev:

Om du gör variabelbytet blir det $x^2 + x \to t^2 - t$ inte $-t^2- t$ eftersom $(-t)^2 = t^2$

Vid konjugatförlägningen får du istället

$\frac{(\sqrt{t^2-t}\;+t)(\sqrt{t^2-t}-t)}{\sqrt{t^2-t}-t}=\frac{t^2-2t}{\sqrt{t^2-t}-t}$

Du borde egentligen ifrågasatt dig själv rätt snabt då $\sqrt{-t^2 - t}$ innebar att vi hade negativa tal under roten och det kan man inte ha i reell analys.

Dominerande term ska fungera men gör om det från rätt startpunkt.

Tack, kändes som jag hade gjort nåt fel där. 

Laguna skrev:

Jag tycker det ursprungliga uttrycket divergerar uppenbart: vi har en monotont stigande rot (men x mellan 0 och -1 ska man inte tänka på) och en en monotont stigande term -x. Deras summa bara växer. Är det rätt på alla tecken i uppgiften? 

Det var inte uppenbart för mig :D, och ja det är rätt. 

Hej!

Om $t=-x$ så blir $x^2 = t^2$ och inte $-t^2$ som du skriver. Det medför att du ska skriva 

    $\displaystyle\sqrt{x^2+x}-x = \sqrt{t^2-t}+t = \frac{t^2-t-t^2}{\sqrt{t^2-t}-t} = \frac{-t}{\sqrt{t^2-t}-t} = \frac{1}{1-t^{-1}\sqrt{t^2-t}}=\frac{1}{1-\sqrt{1-t^{-1}}}.$

Om jag tänker att svaret blir (inf-inf) så jag kan använda L Hospital rule som

0/0

inf/inf

0^0

1^0

inf*0

0*inf