Gränsvärde mha maclaurin

Sitter fast med ett gränsvärde och hoppas någon snäll själ kan ge mig lite hjälp på vägen.

Fråga: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-1}-x\times \cos \left({\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\right)}{\sin \left({\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\right)-\cos \left({\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\right)}$

Försök: Jag börjar här med att utveckla varje term:

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2-1}=x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^3} \\ x\times \cos \left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.\right)=x-\frac{1}{2x} \\ \sin \left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3} \\ \tan \left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.\right)=\frac{1}{x}+\frac{x^3}{3} \end{gathered}$$

Som ger:

$$\begin{gathered} \frac{\left(x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^3}\right)-\left(x-\frac{1}{2x}\right)}{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{x^3}{3}\right)}=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{8{\mathrm{x}}^3}}}{-{\displaystyle \frac{1}{6{\mathrm{x}}^3}}-{\displaystyle \frac{{\mathrm{x}}^3}{3}}}=-\frac{1}{8x^3\left(-\frac{1}{6x^3}-\frac{x^3}{3}\right)}= \\ =-\frac{1}{-{\displaystyle \frac{8}{6}}-{\displaystyle \frac{8x^6}{3}}}=\frac{1}{\frac{8}{6}+\frac{8x^6}{3}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{8}{3}}{x}^6}=\frac{3}{4+8x^6} \end{gathered}$$

$Om x\to \infty \Rightarrow \frac{3}{4+\to \infty }=0$

Svar: 1/3

Har dubbelkollat utvecklingarna med wolfram så de verkar stämma, så jag antar att jag gör något algebraiskt fel eller så missar jag något annat fundamentalt.

All hjälp uppskattas!

Om man läser matte på högskolan bör man klara att skilja mellan universitet och högskoleprovet. (HP kräver bara ma1, då ingår inte MacLaurinserier.) /Smaragdalena, moderator