Gränsvärde med sinx

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\sin \left(x\right) =\hspace{0.17em}0 \\ \underset{x\to 0_{+}}{\lim }\ln \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-\infty \\ \underset{x\to 0}{\lim }x =\hspace{0.17em}0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }x\ln \left(\sin \left(x\right)\right)\hspace{0.17em}=0*\left(-\infty \right)=0 \end{gathered}$$

Sen vet jag inte om jag har rätt tankesätt men jag skulle gärna vilja ha det där gränsvärdet till 0.

Skrev gränsen något fel, ska vara 0+, inte 0.

Har editerat tråden.

Mitt resonemang bör fortfarande gälla. :)

Står i kursboken att "$0*\infty$" är ett farligt fall och bör undvikas. 

Tigster skrev :

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\sin \left(x\right) =\hspace{0.17em}0 \\ \underset{x\to 0_{+}}{\lim }\ln \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-\infty \\ \underset{x\to 0}{\lim }x =\hspace{0.17em}0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }x\ln \left(\sin \left(x\right)\right)\hspace{0.17em}=0*\left(-\infty \right)=0 \end{gathered}$$

 

Sen vet jag inte om jag har rätt tankesätt men jag skulle gärna vilja ha det där gränsvärdet till 0.

Tyvärr fungerar inte det tankesättet. Det gäller nämligen att $0\cdot (-\infty)$ kan bli vad som helst. Skriv istället om gränsvärdet genom att sätta $\frac{1}{x}$ i nämnaren. Då kan du nämligen använd l’Hôpitals regel då du har $\frac{-\infty}{\infty}$.

Kan man lösa uppg utan l'Hospital's? Vi har inte gått igenom den än.

TriForce2 skrev :

Kan man lösa uppg utan l'Hospital's? Vi har inte gått igenom den än.

Ok. Bestäm gränsvärdet istället för $e^{f(x)}$.

$e^{x\ln \left(\sin \left(x\right)\right)}=e^{\ln \left(\sin {\left(x\right)}^x\right)}=\sin {\left(x\right)}^x ??$

Enligt wolframalpha har du rätt, enligt wolframalpha blir det gränsvärdet dessutom 1. Vilket inte stämmer överens med det ursprungliga vars gränsvärde är 0..

Nu vill jag också veta hur man löser det gränsvärdet utan l'Hôpital..

Svaret i facit är 0.

Kan serieutveckling vara ett alternativ?

edit: nej vid närmare eftertanke tror jag inte det...

Man kan väl utnyttja att:

$\sin x \approx x$ då $x$ är litet, vilket betyder att gränsvärdet: $x \ln x$ ska bestämmas.

Vilket är ett standardgränsvärde, se:

http://www2.math.uu.se/~asplund/repenvar/stdgrv.pdf

Skriv om xln(sinx) som x/sinx * sinx*ln(sinx). Vi har att x/sinx går mot ett då x går mot noll.

Sätt t = sinx och vi får i de resterande faktorerna t*ln(t) som är ett standardgränsvärde och går mot noll då t = sinx går mot noll. Alltså är det sökta gränsvärdet noll.