Gränsvärde med logaritmer

Jag vet inte om det är helt okej att logga både täljare och nämnare sådär. Dividera med den dominerande faktorn istället. :) 

Jag vet: det är inte okej.

Smutstvätt skrev:

Jag vet inte om det är helt okej att logga både täljare och nämnare sådär. Dividera med den dominerande faktorn istället. :) 

Ska jag dividera med x²? Jag har inte riktigt koll på polynomdivision. 

Det var inte det Smutstvätt menade. Det som dominerar är de faktorer som växer snabbast. 

Vilken term växer snabbast i täljaren, är det $2^x$ eller $x^3$?
Vilken term växer snabbast i nämnaren, är det $3^x$ eller $x^2$?

när du besvarat de två frågorna så kan du bryta ut det som dominerar (växer snabbast) och sedan så ser du nog ganska kvickt vad som händer när x får växa obehindrat.

Dracaena skrev:

Det var inte det Smutstvätt menade. Det som dominerar är de faktorer som växer snabbast. 

Vilken term växer snabbast i täljaren, är det $2^x$ eller $x^3$?
Vilken term växer snabbast i nämnaren, är det $3^x$ eller $x^2$?

när du besvarat de två frågorna så kan du bryta ut det som dominerar (växer snabbast) och sedan så ser du nog ganska kvickt vad som händer när x får växa obehindrat.

I den första växer x³ snabbast och i den andra växer 3^x snabbast. Hur ska jag bryta ut dem om inte med log? 

Du behöver inte logaritmera för att bryta ut $3^x$ men det stämmer inte att $x^3$ dominerar. Du har nog fått höra att exponentialfunktioner växer snabbare än polynomfunktioner. $x^3$ dominerar ett litet tag, kanske till x=1000 eller något men exponentialfunktioner kommer alltid att växa ifatt polynomfunktioner. Basen och graden av polynomet påverkar hur lång tid det tar men exponentialfunktioner kommer alltid att döda polynomfunktioner när x växer obehindrat.

Så med det sagt, faktorisera ut det som dominerar i täljaren och nämnaren och visa vad du får. Du kan kalla $3^x$ för u och $2^x$ för v om det gör det enklare att visualisera vad det är du gör. :)

Dracaena skrev:

Du behöver inte logaritmera för att bryta ut $3^x$ men det stämmer inte att $x^3$ dominerar. Du har nog fått höra att exponentialfunktioner växer snabbare än polynomfunktioner. $x^3$ dominerar ett litet tag, kanske till x=1000 eller något men exponentialfunktioner kommer alltid att växa ifatt polynomfunktioner. Basen och graden av polynomet påverkar hur lång tid det tar men exponentialfunktioner kommer alltid att döda polynomfunktioner när x växer obehindrat.

Så med det sagt, faktorisera ut det som dominerar i täljaren och nämnaren och visa vad du får. Du kan kalla $3^x$ för u och $2^x$ för v om det gör det enklare att visualisera vad det är du gör. :)

$li{m}_{x-->\infty }\frac{2^x(1+{\displaystyle \frac{x³}{3^x}})}{3^x(1+ {\displaystyle \frac{x²}{3^x}})}$