Gränsvärde med (kanske) oväntat svar!

Hej!

Jag känner att det kan behövas en kluring här i forumet, så här kommer ett gränsvärde, vars svar kan förvåna (eller inte, beroende på hur van man är med sådana här problem).

Problemet är att bestämma följande gränsvärde exakt

$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!\cdot (1+\frac{1}{n})^{n^2}}{n^{n+1/2}}.$

EDIT: $+1/2$ i nämnarens exponent hade fallit bort. Nu är det fixat.

Visa spoiler

Gränsvärdet är $\sqrt{\frac{2\pi}{e}}$

Använd Stirlings formel samt visa att

$\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}{e^n}= \lim_{n\to \infty}e^{n^2\ln(1+\frac{1}{n})-n}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

T.ex. genom att serieutveckla $\ln(1+\frac{1}{n})$ för stora n

Här är en variant på samma tema, också med ett lite oväntat resultat:

$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(n!)^k}{(kn)!}}$

Jroth skrev:
Visa spoiler
Gränsvärdet är $\sqrt{\frac{2\pi}{e}}$
Använd Stirlings formel samt visa att
$\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}{e^n}= \lim_{n\to \infty}e^{n^2\ln(1+\frac{1}{n})-n}=\frac{1}{\sqrt{e}}$
T.ex. genom att serieutveckla $\ln(1+\frac{1}{n})$ för stora n
Här är en variant på samma tema, också med ett lite oväntat resultat:
$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(n!)^k}{(kn)!}}$

Just det. Stirlings formel är nyckeln till problemet. Det är därifrån $\sqrt{2\pi}$ kommer. Jag tyckte gränsvärdet var en smula underhållande, eftersom både $\pi$ och $e$ dyker upp, medan uttrycket inte uttryckligen innehåller någon av dem.

Ditt gränsvärde kan man lösa med i stort sett samma metod. Om jag nu inte gjort bort mig tycker jag att det borde bli $k^{-k}$ .

Ooo väldigt trevligt

Svara

Visa senaste svar