5 svar
36 visningar
Anto 243
Postad: 30 okt 11:08

Gränsvärde med e


Stämmer detta resonemang? Det känns som det inte är korrekt då det involverar successiva gränsövergångar men svaret blir åtminstone rätt.

Laguna 30210
Postad: 30 okt 11:16

Vad är uppgiften?

Anto 243
Postad: 30 okt 11:17

Nej det var ingen uppgift jag började bara tänka på detta :)

LuMa07 Online 28
Postad: 30 okt 11:46 Redigerad: 30 okt 12:36

I detta konkreta gränsvärde kan man åberopa följande två satser för att motivera den utnyttjade successiva gränsvärdesövergången:

 

Sats 1: limx(f(x)·g(x))=(limxf(x))·(limxg(x))\lim_{x\to\infty} (f(x)\cdot g(x)) = (\lim_{x\to\infty} f(x))\cdot (\lim_{x\to\infty} g(x)),

förutsatt att uttrycket i HL är väldefinierat (t.ex. går 0·0\cdot \infty inte bra)

 

Sats 2: limxu(v(x))=limtAu(t)\lim_{x\to\infty} u(v(x)) = \lim_{t\to A} u( t ),

förutsatt att limxv(x)=A\lim_{x\to\infty} v(x) = A och att gränsvärdet  limtAu(t)\lim_{t\to A} u( t ) existerar. Dessutom behöver man förutsätta antingen (a) att yttre funktionen uu är kontinuerlig i punkten AA, eller (b) att inre funktionen v(x)v(x) inte är lika med AA för stora värden på xx.

Det återstår att skriva om det givna uttrycket på ett sätt så att dessa två satser kan utnyttjas:

((1+1x)x)x=exp(x·ln(1+1x)x)=exp(t)((1 + \frac1x)^x)^x = \exp( x \cdot \ln(1+\frac1x)^x ) = \exp(t),

där

(1+1x)xe(1+\frac1x)^x \to e, så ln(1+1x)xlne=1\ln(1+\frac1x)^x \to \ln e = 1 enligt Sats 2

och

t=x·ln(1+1x)x·1= t = x \cdot \ln(1+\frac1x)^x \to \infty \cdot 1= \infty enligt Sats 1

Anto 243
Postad: 30 okt 11:54

Ok jag fick för mig att satsen inte gällde då man involverar oändligheter men hade fel! 

Tomten 1825
Postad: 30 okt 13:40

(X+1/x)>= xx—>oändl när x—>oändl

Svara
Close