Gränsvärde med cotx

Vart tog limes vägen? Hur hamnade $2x - \pi$ i täljaren?

Smaragdalena skrev :

Vart tog limes vägen? Hur hamnade $2x - \pi$ i täljaren?

Limes är kvar, sparade bara lite på tiden med att skriva ut det.

$\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{\frac{1}{\tan \left(x\right)}}{{\displaystyle \frac{1}{2x-\mathrm{\pi }}}} = \underset{x\to \frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}}{\lim }\frac{2x-\mathrm{\pi }}{\tan \left(x\right)}$

Jag förstår fortfarand einte hur $2x- \pi$ flyttar sig rån nämnaren och någon annanstans. Varför ändrar du nämnaren från $2x- \pi$ till $\frac{1}{2x- \pi}$?

Du har helt rätt, ska vara

$\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{1}{\tan \left(x\right)(2x-\mathrm{\pi })}$

Det finns en massa varianter man kan tänka sig.

1. Sätt t = x - pi/2. Skriv om. Använd standardgränsvärde.

2. L'Hospital 

3. ... 

Har inte gått igenom l'Hospitals än men testade variabelbyte som du föreslog

$$\begin{gathered} \underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{cot\left(x\right)}{2x-\mathrm{\pi }} \\ t=x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}, t->0, x=t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}, x->\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}} \\ \underset{t\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{\tan \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}}{2(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}})-\mathrm{\pi }} =\hspace{0.17em}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \frac{\sin \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}{\cos \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}}}}}{2t}=\underset{t\to 0}{\lim } \frac{2t}{\sin \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)\cos \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}=\underset{t\to 0}{\lim } \frac{{\displaystyle 2t}}{{\displaystyle \sin \left(\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)\cos \left(\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}}=\frac{2*0}{1*0} \end{gathered}$$

Måste ha missat nått, hittade inget standardgränsvärde och svaret blev fel.

Rätt svar är -1/2.

Det blir lite fel när du förenklar dubbelbråket. Prova igen! (strunta i att skriva om cot som 1/tan kanske) 

sin och cos av (pi/2 + t) kan du förenkla med enhetscirkeln eller additionsformlerna. 

Vad gör du efter andra likhetstecknet? Du räknar som om det var mittenstrecket som skall vara "huvudbråkstrecket", när det är det nedersta strecket som är det. Du bör alltså få cosinusuttrycket i täljaren och sinusuttrycket samt 2t i nämnaren.

Något invecklade bråk är tydligen ett problemområde, men jag förstår vad du menar nu @Smaragdalena.

$$\begin{gathered} \underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{cot\left(x\right)}{2x-\mathrm{\pi }} \\ t=x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}, t->0, x=t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}, x->\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}} \\ \underset{t\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{\tan \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}}{2(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}})-\mathrm{\pi }} =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\tan \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)2t}=\hspace{0.17em}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{1}}}{{\displaystyle \frac{\sin \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}{\cos \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}\frac{2t}{1}}}=\underset{t\to 0}{\lim } \frac{\cos \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}{\sin \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)2t} \end{gathered}$$

Vet inte dock var standardgränsvärdet finns. Sätter man in t=0 i sista utrycket så får man ut 0/(1*2*0).

Fortsätt lite till: Utveckla cos och sin termerna.

Kan man säga att $\cos \left(t+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \left(t\right)$*-1 ? I så fall får man ut rätt svar.

Ja fortsätt genom att utveckla $\sin (t+\frac{\pi }{2})$ uttrycket också.

Något dylikt?

$\underset{t\to 0}{\lim } \frac{\cos \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)}{\sin \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)2t}=\underset{t\to 0}{\lim } \frac{-1\sin \left(t\right)}{t}\frac{1}{\sin \left(t+\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}\right)2}=-\frac{1}{2}$

Rätt