Gränsvärde med arccos

Efter ditt variabelbyte: Testa Maclaurinutveckling i nämnaren.

Jag använde hospitals regel en gång och fick 2^0,5 som svar men jag vet inte om det är rätt

dr_lund skrev:

Efter ditt variabelbyte: Testa Maclaurinutveckling i nämnaren.

Hej! Maclaurin kommer senare i boken så jag undrar om det finns nåt annat sätt att lösa det. :)

Eller så vill de att man ska uppfinna Maclaurin-hjulet själv här :D

Hej E. W.,

Definiera funktionen $f(t)=\sqrt{1-\cos t}$ där $t\in[0,1].$ Notera att $f(0)=0$ så funktionens derivata $f^\prime(0)$ är relaterad till gränsvärdet du söker.

    $f^\prime(0)=\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{t}$

https://math.stackexchange.com/questions/1588843/calculate-lim-x-to-1-frac-arccosx-sqrt1-x-without-using-lh%C3%B4p

Hej,

Förläng med nämnarens konjugatuttryck för att få 

    $\frac{t}{\sqrt{1-\cos t}} = \frac{t\sqrt{1+\cos t}}{\sqrt{\sin^2 t}} = \frac{t}{|\sin t|}\cdot \sqrt{1+\cos t}$

där Trigonometriska ettan och Konjugatregeln använts.

Använd sedan standardgränsvärdet $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ och de faktum att absolutbelopp-funktionen är kontinueerlig i t=1 och cosinus-funktionen är kontinuerliga i $t=0$ för att få det sökta gränsvärdet.

    $\lim_{t\to0} \frac{t}{\sqrt{1-\cos t}} = \sqrt{2}.$

Det är viktigt att hålla reda på efter variabelbytet att $t\to 0^+$, d.v.s. man närmar sig 0 från höger, närmar man sig från vänster, $t\to 0^-$, så blir istället gränsvärdet lika med $-\sqrt{2}$, vilket innebär att gränsvärdet $t\to 0$ ej existerar.

Tänk på att du har ett ensidigt gränsvärde i frågan. Så t --> 0+. Annars får du problem med beloppet runt sin när t växlar tecken.