Gränsvärde med absolutbelopp.

Vi har $\lim_{x \to 1 -} \frac{x^{2} + x - 2}{| x^{2} - 1 |}$

Man vill få bort absolutbelopptecknet.

x närmar sig 1 från det negativa hållet.

Jag brukar ställa upp en tallinje och då ser man att uttrycket $x^{2} - 1$ kommer vara positivt ända tills x når 0.

Alltså kommer uttrycket vara negativt då $- 1 > x \geq 0$

Fråga: Ska man tolka det som att uttrycket kommer vara negativt då? Eftersom det blir negativt väldigt nära -1?

Och eftersom det blir negativt sätter vi - framför parantesen.

Betrakta nämnaren först: | $x^{2}$ - 1| = |(x - 1)(x + 1)| = |x - 1||x + 1|;

Om 0<x<1 så är första faktorn negativ och andra faktorn positiv, så

uttrycket kan skrivas: (1 - x)(x + 1).

Betrakta nu täljaren: $x^{2}$ + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = -(1 - x)(x + 2).

Faktorn (1 - x) (den som går mot noll) kan nu förkortas bort och kvar är

-(x + 2)/(x + 1) vilket blir -3/2 när x går mot 1.

Guuuben skrev:
Betrakta nämnaren först: | $x^{2}$ - 1| = |(x - 1)(x + 1)| = |x - 1||x + 1|;

Om 0<x<1 så är första faktorn negativ och andra faktorn positiv, så

uttrycket kan skrivas: (1 - x)(x + 1).

Betrakta nu täljaren: $x^{2}$ + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = -(1 - x)(x + 2).

Faktorn (1 - x) (den som går mot noll) kan nu förkortas bort och kvar är

-(x + 2)/(x + 1) vilket blir -3/2 när x går mot 1.

EDIT: är lite trött.

Jag förstår din lösningsmetod

Men jag funderar fortfarande om mitt tankesätt är rätt ? Att man kan se genom "tallinjen" att hela uttrycket kommer från början vara negativt nära x=1. Så jag sätter minustecken framför direkt.

På detta vis:

Svara