gränsvärde, maclaurin

Hej

jag ska räkna fram gränsvärdet genom maclaurinutveckling men jag förstår inte det sista steget.

Uppgiften är:

Bestäm $\frac{l i m}{x \to 0} \frac{1 - \cos (x^{2})}{{(1 - \cos x)}^{2}}$

Man ska använda sig av att maclaurinutvecklingen för cox= $1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + . . .$

I ett första steg ska vi få $\frac{l i m}{x \to 0}$ $\frac{(1 - 1 + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{8}}{4!} + . . .)}{{(1 - 1 + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{4}}{4!} + . . .)}^{2}}$

jag är med på nämnaren men i täljaren har dom bara multiplicerat med 2 eftersom vi har x^2 inom parentesen?

sedan ska vi få $\frac{l i m}{x \to 0} \frac{\frac{1}{2!} + 0 (x^{2})}{\frac{1}{4} + 0 (x^{2})} = 2$

här förstår jag inte hur man gör. Om x går mot noll borde ju allt bli noll eftersom dom enda termer vi har utan x är ju 1-1 i både täljare och nämnare, så hur får man fram 1/2! och 1/4?

Du får täljaren genom att först skriva upp utvecklingen som vanligt, och sedan stoppa in x^2 på xs plats som om det hade varit en vanlig siffra.

Sen när ettorna minusat bort varandra ska du ha (x/2)/(x/4). Då bryter du ut x framför så du får (x * 1/2)/(x*1/4). Nu har du x löst både uppe och nere och kan stryka det. Kvar blir bara 1/2 / 1/4, som = 2.

jag är inte riktigt med på hur man får (x/2)/(x/4). Efter att ettorna har tagit bort varandra får jag kvar $\frac{l i m}{x \to 0} \frac{(\frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{8}}{4!})}{(\frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{4}}{4!})}$ men hur får man $\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{4}}$ av detta?

Glöm inte att nämnaren är upphöjt till 2. Då får du x^4 att bryta ut och stryka i det här fallet. Alla x som är upphöjt till något högre än så ignoreras och förpackas längst bak i ngn typ av restterm, för när x går mot 0 så är det bara de termer med lägst potens som kommer påverka gränsvärdet, för de med högre potenser går mot noll snabbare, de är liksom mer ”nolliga” så man kollar alltid bara på lägsta.

Du ser att det står O(x^2) i ditt sista steg? Det är en restterm. När du fått x^4 osv, Ska du ta bort alla x^6 och högre, det skrivs som x^4 + O(x^6). Sen när du strök x^4 både uppe och nere, så måste du stryka x^4 från ditt O också, och får då bara x^2 kvar.

okej då förstår jag hur man får fram resttermen, men borde vi inte få (1/2!)/(1/2!) sedan efter att man bryter ut x^4? men i nämnaren ska man få 1/4

När du tar nämnaren upphöjt till två måste du ju göra det med hela ditt bråk, alltså (x^2/2)^2=(x^4)/4.

Svara

Visa senaste svar