Gränsvärde - Koncentriska cirklar 

Jag ser inte att du utnyttjar att r₁ = k*r₀. Du kan förenkla uttrycket $\sqrt{r_0^2 - r_1^2}$ då.

Radierna bildar en geometrisk talföljd.

• Det betyder att kvoten av två radier alltid är lika med samma konstant, $l_1\l_0 = k$.
• Det betyder att avståndet $l_0$ kan skrivas som

        $l_0=r_0\cdot\sqrt{1-k^2}$.

Laguna skrev:

Jag ser inte att du utnyttjar att r₁ = k*r₀. Du kan förenkla uttrycket $\sqrt{r_0^2 - r_1^2}$ då.

Jag upplevde inte att det blev så förenklat av det därför uteslöt jag det från sammanställningen. Fick det till q=$\sqrt{r_1^2 - r_2^2}/\sqrt{r_0^2 - r_1^2}$ Jag provade även att sätta in $\{r_2^2=r_1^2/r_0}$ och vidareutv utan framgång 

Eftersom radierna är en geometrisk talföljd med kvot $q$ (eller $k$ som uppgiften kallar det, men det är ju samma sak) kommer ju $r_1$ att vara lika med $q\cdot r_0$ (och $r_2=q\cdot r_1$ o.s.v., detta är ju definitionen av en geometrisk talföljd). Om du sätter in detta i ditt uttryck får du ju:

$q=\dfrac{2\pi r_0}{2\pi r_0}-\dfrac{\sqrt{r_0^2-(qr_0)^2}}{2\pi r_0}$

Detta går att förenkla så att man blir av med alla $r_0$ i HL. Då får man en ekvation med vilken man kan lösa ut $q$.

Albiki skrev:

Radierna bildar en geometrisk talföljd.

• Det betyder att kvoten av två radier alltid är lika med samma konstant, $l_1\l_0 = k$.
• Det betyder att avståndet $l_0$ kan skrivas som

        $l_0=r_0\cdot\sqrt{1-k^2}$.

Jag vet inte varför du väljer att ignorera min hjälp, men för den läsare som är mer intresserad av min hjälp än du skriver jag detta. 

Samma resonemang upprepas på övriga koncentriska cirklar.

Avståndet

    $\displaystyle l_{i} = \sqrt{r_i^2-r_{i+1}^2} = r_{i}\sqrt{1-k^2}$ 

ger den sökta serien

    $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}l_i = \sqrt{1-k^2}\cdot\sum_{i=0}^{\infty}r_i = r_0 \cdot \sqrt{1-k^2}\cdot\sum_{i=0}^{\infty} k^{i}.$

Om förhållandet mellan cirklarnas radier är $0 < k < 1$ så är den geometriska serien

    $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}k^{i} = \frac{1}{1-k}$

vilket ger den sökta serien 

    $\displaystyle r_0 \frac{\sqrt{1-k^2}}{1-k} = r_0 \sqrt{\frac{(1-k)(1+k)}{(1-k)^2}} = r_0\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}.$

Kravet är att denna serie ska vara lika med omkretsen $2\pi r_0$ vilket bestämmer förhållandet $k.$

    $\displaystyle 4\pi^2 = \frac{1+k}{1-k} \iff k = \frac{4\pi^2-1}{4\pi^2+1} \approx 0.95.$

Albiki skrev:

Albiki skrev:

Radierna bildar en geometrisk talföljd.

• Det betyder att kvoten av två radier alltid är lika med samma konstant, $l_1\l_0 = k$.
• Det betyder att avståndet $l_0$ kan skrivas som

        $l_0=r_0\cdot\sqrt{1-k^2}$.

Jag vet inte varför du väljer att ignorera min hjälp, men för den läsare som är mer intresserad av min hjälp än du skriver jag detta. 

Samma resonemang upprepas på övriga koncentriska cirklar.

Avståndet

    $\displaystyle l_{i} = \sqrt{r_i^2-r_{i+1}^2} = r_{i}\sqrt{1-k^2}$ 

ger den sökta serien

    $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}l_i = \sqrt{1-k^2}\cdot\sum_{i=0}^{\infty}r_i = r_0 \cdot \sqrt{1-k^2}\cdot\sum_{i=0}^{\infty} k^{i}.$

Om förhållandet mellan cirklarnas radier är $0 < k < 1$ så är den geometriska serien

    $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}k^{i} = \frac{1}{1-k}$

vilket ger den sökta serien 

    $\displaystyle r_0 \frac{\sqrt{1-k^2}}{1-k} = r_0 \sqrt{\frac{(1-k)(1+k)}{(1-k)^2}} = r_0\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}.$

Kravet är att denna serie ska vara lika med omkretsen $2\pi r_0$ vilket bestämmer förhållandet $k.$

    $\displaystyle 4\pi^2 = \frac{1+k}{1-k} \iff k = \frac{4\pi^2-1}{4\pi^2+1} \approx 0.95.$

Åhh tack då har jag troligtvis varit väldigt nära, men gjort slarvfel ngn stans. Ska kolla igenom när mitt barn sover.

AlvinB skrev:

Eftersom radierna är en geometrisk talföljd med kvot $q$ (eller $k$ som uppgiften kallar det, men det är ju samma sak) kommer ju $r_1$ att vara lika med $q\cdot r_0$ (och $r_2=q\cdot r_1$ o.s.v., detta är ju definitionen av en geometrisk talföljd). Om du sätter in detta i ditt uttryck får du ju:

$q=\dfrac{2\pi r_0}{2\pi r_0}-\dfrac{\sqrt{r_0^2-(qr_0)^2}}{2\pi r_0}$

Detta går att förenkla så att man blir av med alla $r_0$ i HL. Då får man en ekvation med vilken man kan lösa ut $q$.

Ok! Tack! Ska kolla när mitt barn sover