Gränsvärde i två variabler som går mot (0,1)

Hej!

Jag har problem med följande gränsvärde: $\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{x \sin^{2} (π y)}{x^{2} + {(y - 1)}^{2}}$

Jag har undersökt funktionen genom att "låsa fast" en variabel åt gången i t.ex x=0, y=1, x=y-1 osv och får då att gränsvärdet är lika med noll men för att kunna undersöka alla riktningar vill jag ju gå över till polära koordinater. Men jag förstår inte hur det ska gå till när (x,y) går mot två olika värden? Vad ska r gå emot då? Går det ens att använda den metoden då?

Du kan börja med variabelbyte.

x’ = x

y’ = y - 1.

(x, y) -> (0, 1) omm (x’, y’) -> (0, 0).

Sedan polära.

Eller gå direkt till polära.

x = rcosv

y = 1 + rsinv.

Vi har |sin(pi•y)|/(y-1)|=|sin(pi•y-pi)|/|(t-1)=|sin(pi•(y-1))/(y-1)| Förläng bråket med pi och vi ser att det kvadrerade bråket går mot pi-kvadrat dvs är begränsat till säg B. Genom att ta bort det positiva talet x² från nämnaren gör vi bråket större och får uppskattningen: |x•sin(pi•y)/(x2+(y-1)2)<=|x• B| —>0 oberoende av y när x-->0

Svara