gränsvärde i två variabler

Jag vill visa att $lim_{(x,y)\longrightarrow(0,0)} \frac{e^{x^2+y^2}\cdot sin(x^3-y^3)}{x^4+y^4}$ inte har ett gränvärde.

Se bild, kan jag läsa uppgiften genom att kolla om funktionen f(x,x) går mot noll:

$\frac{e^{2x^2}\cdot sin(0)}{2x^4}$ går detta med 0. Jag tänker mig att täljare går mot noll snabbare än nämnare. Funkar det?

Du finner att f(x,x)=0 för alla x skilt från 0. Vägen mot origo är då utefter linjen y=x. Sedan undersöker du vad som händer när y=0, dvs vägen utefter x-axeln och där går f(x,0) mot oändl. Den senare iakttagelsen räcker för att visa att f saknar gränsvärde i origo. Att undersöka f(0,y) behövs inte. Om f(x,0) hade gått mot ett gränsvärde skilt från 0, så hade den första iakttagelsen däremot behövts, men nu har vi f(x,0)-->oändl och då behöver man inte göra något mer. Hade du fått f(x,0)-->0 så skulle man inte kunna dra någon slutsats utan vidare utredning, t ex undersöka f(0,y) som du gjort.

Tomten skrev:
Du finner att f(x,x)=0 för alla x skilt från 0. Vägen mot origo är då utefter linjen y=x. Sedan undersöker du vad som händer när y=0, dvs vägen utefter x-axeln och där går f(x,0) mot oändl. Den senare iakttagelsen räcker för att visa att f saknar gränsvärde i origo. Att undersöka f(0,y) behövs inte. Om f(x,0) hade gått mot ett gränsvärde skilt från 0, så hade den första iakttagelsen däremot behövts, men nu har vi f(x,0)-->oändl och då behöver man inte göra något mer. Hade du fått f(x,0)-->0 så skulle man inte kunna dra någon slutsats utan vidare utredning, t ex undersöka f(0,y) som du gjort.

Oki, stort tack för svar!

Svara