Gränsvärde, hur löser man en uppgift där x går mot oändligheten

När gränsvärden går mot positiv eller negativ oändlighet, vill vi undersöka vilka av termerna som dominerar då x är stort. Exempel: $x+5$, om x går mot oändligheten kommer x att dominera, eftersom femman är värd fem oavsett värde på x.

Men i ett uttryck såsom $\frac{1}{x}+5$, här kommer femman att dominera om x går mot oändligheten, eftersom termen $\frac{1}{x}$ går mot noll då x går mot oändligheten. 

För bråk kan detta användas genom att dividera både täljare och nämnare med den dominerande faktorn. Vilka faktorer dominerar i ditt uttryck? :)

Om jag förstår det hela rätt bör det vara x^2 och 4x som dominerar

$x^2$ stämmer, men $4x$ är inte en dominerande faktor. När det gäller polynom är den dominerande faktorn alltid termen med högst exponent. :)

Vi kan nu dividera alla faktorer med den dominerande faktorn, för att se vilka termer som kommer att kunna mäta sig med den dominerande faktorn, när x går mot oändligheten. $\frac{5}{x^2}$ kommer gå mot noll, och det kommer även $\frac{5x}{x^2}=\frac{5}{x}$. Däremot är termen $\frac{5x^2}{x^2}$ relevant, eftersom den är fem när x går mot oändligheten.

Hur blir det i ditt fall? :D

dividerar man både täljaren och nämnarens faktorer med den dominerande faktorn?

Ja, bryt ut det som dominerar i täljaren och det som dominerar i nämnaren och sedan låter du $x \rightarrow \infty$

$\frac{{\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2}}}$ Nu kanske jag är helt ute och cyklar men är det såhär ni menar?

Ja, du kan dividera med $x^2$ om du tycker det är skönare, jag brukar bara bryta ut det från bråket. Det är en smaksak. Okej, dividera nu varje term med $x^2$ och fundera på följande, Vad händer om du delar något litet med något väldigt, väldigt stort. Du kan referera till Smutstvätts första inlägg.

$\frac{1-\frac{-4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}$ såhär blir mitt nästa steg. Om man delar någto litet med något väldigt stort blir väl kvoten nära 0

Ja, så vilka termer kommer gå mot 0?

Alla förutom 1. Menar du då att exempelvis -4/x går att ersätta med 0? Så isf blir det bara 1/1 kvar vilket ger svaret 1?

Japp, du kommer få $\frac{1-0+0}{1-0}=1$. Du har alltså kommit fram till att $f(x) \rightarrow 1$ då $x \rightarrow \infty$

Känns det märkligt? Hämta en miniräknare, testa att stoppa in x = 100, 1000,10000,10000 osv. Så märker du att det kommer att bli allt närmare 1 ju större x blir.

Tack så jättejättemkt för hjälpen!