Gränsvärde, Höger/Vänster

Repeterar lite gränsvärden och stötte på en till synes enkel funktion och ser vad svaret blir men har svårt att formulera detta matematiskt.

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x}$

Började med att dela upp till produkter och ser att ena produkten går mot 1, då x går mot 0:

$\frac{x + 1}{x^{2} - 2 x} = (x + 1) (\frac{1}{x^{2} - 2 x}) = [(x + 1) \to 1, d å x \to 0] = 1 \times (\frac{1}{x^{2} - 2 x})$

Här ser jag att: $x^{2} - 2 x = 0$ och $x^{2} - 2 x < 0$ , då x är nära noll från höger och kan konstatera att:

$(\frac{x + 1}{x^{2} - 2 x}) \to - \infty, d å x \to 0^{+}$

Så blir det tvärtom ( $x^{2} - 2 x > 0$ ) när x är nära noll från vänster.

Mitt resonemang är ju korrekt men hur kan jag skriva detta till en snygg matematisk lösning? Hur skulle ni göra?

Tack!

Men... uttrycket går ju mot plus oändligheten när x närmar sig noll från positiva hållet...?

Nej.

Om 0<x<1

Så är: $x^{2} < 2 x$

EX: $[x = 0.5] \Rightarrow {(0.5)}^{2} - 2 (0.5) = 0.25 - 1 = - 0.75$

Qetsiyah skrev:
Men... uttrycket går ju mot plus oändligheten när x närmar sig noll från positiva hållet...?

Nej.

graf över det intressanta området

Det underlättar nog att skriva om utrycket som:

$\frac{x+1}{x^2-2x}=\frac{x+1}{x(x-2)}=$

$\frac{x+1}{x-2}\cdot \frac{1}{x}$

Den första kvoten är oproblematisk när

$x\to 0^+$ , den blir helt enkelt:

$\frac{0+1}{0-2}=-\frac{1}{2}$

Vidare gäller för den andra faktorn:

$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=\infty$

Sammantaget fås då:

$- \frac{1}{2} \cdot \infty = - \infty$

tomast80 skrev:
Det underlättar nog att skriva om utrycket som:
$\frac{x+1}{x^2-2x}=\frac{x+1}{x(x-2)}=$
$\frac{x+1}{x-2}\cdot \frac{1}{x}$
Den första kvoten är oproblematisk när
$x\to 0^+$ , den blir helt enkelt:
$\frac{0+1}{0-2}=-\frac{1}{2}$
Vidare gäller för den andra faktorn:
$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=\infty$
Sammantaget fås då:
$- \frac{1}{2} \cdot \infty = - \infty$

Ja det ser ut att underlätta en hel del. Har ibland lite svårt att se hur jag ska förenkla för att komma till bästa, och enklaste lösning. Hoppas jag blir bättre med lite nötning. :)

Tack för svar!

Åh ja ursäkta, jag venne vad för sorts graf jag knappade in på miniräknaren igår. Kanske glömde paranteser eller nåt sånt.

Svara

Visa senaste svar