Gränsvärde genom maclaurinutv

Hittar inte felet direkt, men oftast använder man standardutvecklingar för att slippa härleda själv, se t.ex.: https://people.kth.se/~gunnarj/AAMA1n/OH5.2.html

Använd utvecklingarna:

$\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)$

med $t=-x$ samt

$(1+t)^a=1+at+O(t^2)$

med $t=-x^2$ och $a=\frac{1}{2}$

Hittade ett fel i deriveringen i täljaren:

$\frac{d}{dx}\frac{-1}{1-x}=$

$\frac{d}{dx}-(1-x)^{-1}=$

$-1\cdot (-1)(1-x)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(1-x)=$

$\frac{(-1)^3}{(1-x)^{2}}=\frac{-1}{(1-x)^2}$

tomast80 skrev:

Hittade ett fel i deriveringen i täljaren:

$\frac{d}{dx}\frac{-1}{1-x}=$

$\frac{d}{dx}-(1-x)^{-1}=$

$-1\cdot (-1)(1-x)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(1-x)=$

$\frac{(-1)^3}{(1-x)^{2}}=\frac{-1}{(1-x)^2}$

Tack!

Steg 1. Förläng med nämnarens konjugatuttryck.

    $\displaystyle\frac{x+\ln(1-x)}{x^2}\cdot (1+\sqrt{1-x^2}).$ 

Steg 2. Det gäller att studera kvoten $\frac{x+\ln(1-x)}{x^2}$ för små $x$. För detta kan Maclaurinutveckling av funktionen $\ln(1-x)$ användas.

    $\displaystyle\ln(1-x) = -x-0.5x^2+o(x^2)$

där $o(x^2)$ betecknar en funktion sådan att $\lim\limits_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2} = 0.$

Steg 3. Den intressanta kvoten kan därför skrivas

    $\displaystyle\frac{x+(-x-0.5x^2+o(x^2))}{x^2} = -0.5 + \frac{o(x^2)}{x^2}$

och det intressanta uttrycket blir

    $\displaystyle-0.5\cdot(1+\sqrt{1-x^2}) + \frac{o(x^2)}{x^2}\cdot(1+\sqrt{1-x^2}).$

Steg 4. Detta uttryck närmar sig talet $-0.5 \cdot 2 + 0 \cdot 2$ då $x \to 0$.