Gränsvärde: fungerar mitt resonemang?

Hej!

Har i uppgift att beskriva gränsvärdet för följande funktion där x går mot oändligheten:

$f (x) = \frac{x^{100}}{{(1.01)}^{x}}$

Mitt resonemang är följande: både täljare och nämnare kommer gå mot oändligheten, så man skulle kunna tänka sig " $\frac{\infty}{\infty}$ ", men så kan vi inte svara (det är inte heller korrekt). Mitt resonemang då är att en exponential funktion (nämnaren) "vinner" över en potensfunktion (täljaren) därav kommer nämnaren att gå "mer" mot oändligheten. När nämnaren blir oändligt större så kommer funktionen gå mot 0, vilket ska vara svaret.

Räcker mitt resonemang i text, eller är det felaktigt? Går det dessutom att räkna på detta med lim x -> oändligheten?

Ditt resonemang är korrekt. Nämnaren växer snabbare än täljaren och vinner enkelt. Alltså blir gränsvärdet 0.

Vad som "räcker" som resonemang beror på vilken ambitionsnivå som gäller. Jag skulle personligen helst vilja se en hänvisning till en sats och en mer precis formulering. Ungefär så här:

Enligt en känd sats från kurslitteraturen gäller för alla tal $p>0$ och $q$ (utan restriktion)

$\lim_{x\to\infty}\frac{x^q}{e^{px}}=0$

Vi kan skriva om det sökta gränsvärdet och använda den mer precisa formuleringen enligt

$\lim_{x\to \infty}\frac{x^{100}}{(1.01)^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^{100}}{e^{x\ln(1.01)}}=0$

Men i praktiska sammanhang tycker jag ditt resonemang om vem som "vinner" över vem duger gott. En potensfunktion växer förövrigt i sin tur snabbare än varje potens av logaritmfunktionen.

Om x^p/e^x—> 0 när x—>oändl får räknas som ”standardgränsvärde” så kan det aktuella uttrycket skrivas om på den formen.

Svara