Gränsvärde för trigonometrisk funktion

Testa tex variabelbytet t=x-pi/2, sen tror jag du kan få något fint från additionsformlerna för sin och cos.

Micimacko skrev:

Testa tex variabelbytet t=x-pi/2, sen tror jag du kan få något fint från additionsformlerna för sin och cos.

$$\begin{gathered} \frac{cot(t+{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}})}{2t}=\frac{-\tan \left(t\right)}{2t} \\ Ser inte hur det här ska hjälpa mig. \end{gathered}$$

Man kan också identifiera detta som en derivata:

$\lim_{x\to \pi/2}\frac{\cot x-\cot (\pi/2)}{x-\pi/2}\cdot \frac{1}{2}=$

$\frac{1}{2}\cdot f'(\pi/2)$

där $f(x)=\cot x$

tomast80 skrev:

Man kan också identifiera detta som en derivata:

$\lim_{x\to \pi/2}\frac{\cot x-\cot (\pi/2)}{x-\pi/2}\cdot \frac{1}{2}=$

$\frac{1}{2}\cdot f'(\pi/2)$

där $f(x)=\cot x$

Förstår inte

Hej,

Tomas80 har definierat funktionen $f(x) = \cot x.$ Funktionsvärdet $f(\pi/2) = 0$ vilket låter dig skriva 

    $\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{\cot x-0}{x-\pi/2} =\frac{1}{2}\cdot \frac{f(x) - f(\pi/2)}{x-\pi/2}.$

Du vill veta gränsvärdet

    $\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to\pi/2}\frac{f(x)-f(\pi/2)}{x-\pi/2}.$

Detta känner du igen som derivatan $f^\prime(\pi/2).$ Gör du inte det behöver du ta en titt på derivatans definition. 

ok så, såhär kan man alltså lösa den:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=cotx \\ \underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{cotx}{2x-\mathrm{\pi }}=\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{1}{2}\times \frac{cotx}{x-{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}}=\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{1}{2}\frac{cotx-cot(\mathrm{\pi }/2)}{x-\mathrm{\pi }/2}= \\ =\frac{1}{2}f\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{1}{2}\times (-co{t}^2\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1)=\frac{1}{2} \end{gathered}$$