Gränsvärde för funktion med tre variabler

Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna det i så fall ( $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), |x| = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}$ ):

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin {|x|}^{2}}{{|x|}^{2} + x_{1} x_{2} x_{3}}$

Lösning:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin {|x|}^{2}}{{|x|}^{2} + x_{1} x_{2} x_{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{1} x_{2} x_{3}}$

Testar för $x_{1} = x_{2} = x_{3} = t$ :

$\lim_{(t, t, t) \to 0} \frac{\sin (3 t^{2})}{3 t^{2} + t^{3}} = \lim_{(t, t, t) \to 0} \frac{\sin (3 t^{2})}{3 t^{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{t}{3}} = 1 \cdot 1 = 1$

Testar för $x_{1} = t, x_{2} = x_{3} = 0$ :

$\lim_{(t, t, t) \to 0} \frac{\sin (t^{2})}{t^{2}} = 1$

Jag kan inte komma på någon substitution som ger något annat värde än 1, så jag vill nu gå vidare. Men hittills har jag bara gått till nästa steg med två variabler för en funktion vars eventuella gränsvärde är 0, där jag satt att $x_{1} = r \cdot \cos θ, x_{2} = r \cdot \sin θ$ och sedan sett att $0 < |f (x_{1}, x_{2})| = |f (r \cdot \cos θ, r \cdot \sin θ)| \leq g (r)$ där $g (r) \to 0$ då $r \to 0$ .

Men detta fallet är annorlunda pga att det finns tre variabler och att gränsvärdet (om det finns) är 1 istället för 0. Hur ska jag gå vidare här?

Skriv om i sfäriska koordinater.

Du får något I stil med

[sin(r^2)/r^2]^2 gånger en faktor innehållande r och vinkelfunktioner.

Hej!

Jag föreslår att du använder standardgränsvärdet för kvoten $\frac{\sin t}{t}$ när talet $t$ närmar sig noll. Du ska också undersöka vad som händer med kvoten $\frac{x_1x_2x_3}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ när x-vektorn närmar sig nollvektorn.

Albiki

Jag satte

$\{x = r \cdot \sin θ \cdot \cos φ y = r \cdot \sin θ \cdot \sin φ z = r \cdot \cos θ\}$

vilket ger mig funktionen

$\frac{\sin (r^{2} (\sin^{2} θ \cdot \cos^{2} φ + \sin^{2} θ \cdot \sin^{2} φ + \cos^{2} θ))}{r^{2} (\sin^{2} θ \cdot \cos^{2} φ + \sin^{2} θ \cdot \sin^{2} φ + \cos^{2} θ) + r^{3} \cdot \sin^{2} θ \cdot \cos θ \cdot \sin φ \cdot \cos φ}$

vilket jag förenklar till

$\frac{\sin (r^{2})}{r^{2} (1 + r \cdot \sin^{2} θ \cdot \cos θ \cdot \sin φ \cdot \cos φ)} = \frac{\sin (r^{2})}{r^{2}} \cdot \frac{1}{1 + r \cdot \sin^{2} θ \cdot \cos θ \cdot \sin φ \cdot \cos φ} = = \frac{\sin (r^{2})}{r^{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{r}{4} \cdot \sin θ \cdot \sin (2 θ) \cdot \sin (2 φ)}$

Är detta rätt riktning?

Ja, låt nu r gå mot 0.

Dr. G skrev :
Ja, låt nu r gå mot 0.

Ja just det. Funderade på ifall jag kunde göra det trots att de andra variablerna också var med i uttrycket. Men det går ju, eftersom x, y och z är funktioner som jag definierade ovan. Originalproblemet har ju oberoende variabler x, y och z som alla går mot 0. Och eftersom de är oberoende så är det enda viktiga att de går mot 0, inte hur. Och eftersom de alla går mot 0 när r går mot 0 så är det ett godtyckligt sätt att få ett gränsvärde på funktionen. Är det ett korrekt sätt att resonera? Kanske uppenbart, men det slog mig inte riktigt förrän nu.

Hej!

Eftersom $|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ så gäller det att

$|x_k|\leq |x|$ för varje $k$ .

Det följer att

$\frac{|x_1x_2x_3|}{|x|^2} \leq \frac{|x|^3}{|x|^2} = |x|$

så att när $|x| \to 0$ så följer det att $\frac{|x_1x_2x_3|}{|x|^2} \to 0\ .$

Albiki

Svara

Visa senaste svar