gränsvärde för funktion i 2 variabler, polära koordinater

Hej!

Jag vill beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte existerar) av $\frac{2 x^{3} - x y^{2}}{x^{2} + y^{2} - x y}$ då $(x, y) \to (0, 0)$ .

Jag har provat först genom att närma mig origo från lite olika linjer med resultat av samma gränsvärde.

I stället har jag nu bytt till polära koordinater och förenklat funktionen:

$\frac{2 x^{3} - x y^{2}}{x^{2} + y^{2} - x y} = \frac{2 r^{3} \cos^{3} (θ) - r \cos (θ) \cdot r^{2} \sin^{2} (θ)}{r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - r \cos (θ) \cdot r \sin (θ)} = r \frac{2 \cos (θ) - \cos (θ) \cdot \sin^{2} (θ)}{1 - \frac{1}{2} \sin (2 θ)}$ .

Min förenklade funktion beror nu på vinkeln x. Jag gissar att jag kan uppskatta bort vinkeln för att visa att gränsvärdet är oberoende av vilket håll man närmar sig origo. Jag vet att man kan använda instängningsregeln bland annat och med triangelolikheten.

Jag har dock fastnat eftersom jag inte vet exakt hur jag ska gå till väga.

Börja med att ändra variabel på vinkeln, den är inte x. Sedan kan du fundera på vad som händer med dina trigonometriska uttryck när x och y går mot noll.

Det räcker att visa att kvoten med trigononometriska uttryck är begränsad, eftersom r---->0. Att täljaren är begränsad ser man lätt eftersom cos och sin är begränsade. Nämnaren kan inte heller komma godtyckligt nära 0 som du kanske ser. Alltså är hela kvoten begränsad. Om du vill visa det mer formellt kan du t ex börja med en olikhet som baseras på att täljarens minsta värde är 1/2.

Ebola skrev:
Börja med att ändra variabel på vinkeln, den är inte x. Sedan kan du fundera på vad som händer med dina trigonometriska uttryck när x och y går mot noll.

$H ä n g e r i n t e r i k t i g t m e d p å v a d d u m e n a r, N ä r x o c h y g å r m o t 0 ä r v ä l s a m m a s o m a t t r g å r m o t 0 ?$

parveln skrev:
Det räcker att visa att kvoten med trigononometriska uttryck är begränsad, eftersom r---->0. Att täljaren är begränsad ser man lätt eftersom cos och sin är begränsade. Nämnaren kan inte heller komma godtyckligt nära 0 som du kanske ser. Alltså är hela kvoten begränsad. Om du vill visa det mer formellt kan du t ex börja med en olikhet som baseras på att täljarens minsta värde är 1/2.

Okej så nämnaren kan ej komma godtyckligt nära 0 eftersom om $\sin (2 θ)$ är 0 så blir nämnaren 1? Nämnarens minsta värde är $1 - \frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{2}$ .

Hur kan jag visa vad det exakta gränsvärdet blir på ett formellt sätt?

Fannywi skrev:
parveln skrev:
Det räcker att visa att kvoten med trigononometriska uttryck är begränsad, eftersom r---->0. Att täljaren är begränsad ser man lätt eftersom cos och sin är begränsade. Nämnaren kan inte heller komma godtyckligt nära 0 som du kanske ser. Alltså är hela kvoten begränsad. Om du vill visa det mer formellt kan du t ex börja med en olikhet som baseras på att täljarens minsta värde är 1/2.
Okej så nämnaren kan ej komma godtyckligt nära 0 eftersom om $\sin (2 θ)$ är 0 så blir nämnaren 1? Nämnarens minsta värde är $1 - \frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{2}$ .
Hur kan jag visa vad det exakta gränsvärdet blir på ett formellt sätt?

Kvoten är begränsad, och framför den står r. r går mot noll, så då går hela uttrycket mot noll.

Laguna skrev:
Fannywi skrev:
parveln skrev:
Det räcker att visa att kvoten med trigononometriska uttryck är begränsad, eftersom r---->0. Att täljaren är begränsad ser man lätt eftersom cos och sin är begränsade. Nämnaren kan inte heller komma godtyckligt nära 0 som du kanske ser. Alltså är hela kvoten begränsad. Om du vill visa det mer formellt kan du t ex börja med en olikhet som baseras på att täljarens minsta värde är 1/2.
Okej så nämnaren kan ej komma godtyckligt nära 0 eftersom om $\sin (2 θ)$ är 0 så blir nämnaren 1? Nämnarens minsta värde är $1 - \frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{2}$ .
Hur kan jag visa vad det exakta gränsvärdet blir på ett formellt sätt?
Kvoten är begränsad, och framför den står r. r går mot noll, så då går hela uttrycket mot noll.

Hur kan jag visa det med en uträkning? I min kursbok används instägningsregeln mkt som ett bevis. Jag tänker t.ex att $- 2 \leq 2 \cos θ \leq 2$ men det känns krångligt att gå igenom varje term i kvoten och försöka skriva om som en olikhet för hela uttrycket.

Utgå från omskrivningen du har gjort till polära koordinater. Du behöver bara konstatera att i bråket, som man multiplicerar med r, är nämnaren = 1-½sin(2v) så värdet på nämnaren ligger mellan 0,5 och 1,5. Visa också att täljaren inte kan bli hur stor som helst, exempelvis genom att derivera och undersöka derivatans nollställen. Sedan har du ett uttryck vars värde ligger mellan nånting och nånting annat som multipliceras med radien r. När radien går mot 0 går alltihop också mot o, så där har du ditt gränsvarde.

Om du behöver mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.

Svara

Visa senaste svar