Gränsvärde för funktion av flera variabler

Uppgiften är att avgöra om följande gränsvärde existerar, samt vad gränsvärdet i sådana fall är

$\lim_{\overset{⇀}{x} \to \vec{0}} \frac{e^{{|\vec{x}|}^{2}} - 1}{{|\vec{x}|}^{2} + x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{2} x_{3} + x_{3}^{2} x_{1}}$

där $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ och $|\vec{x}| = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})^{1 / 2}$ .

Det första jag gjorde var att Maclaurinutveckla $e^{{|\vec{x}|}^{2}}$ och sedan förkortade jag med ${|\vec{x}|}^{2}$ . Då fick jag följande uttryck

$\frac{1 + O ({|\vec{x}|}^{2})}{1 + (\frac{x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{2} x_{3} + x_{3}^{2} x_{1}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}})}$ .

Det jag har problem med är uttrycket inom parentesen i nämnaren. Hur ska jag kunna visa vad detta går mot? Jag har testat att exempelvis dividera och få en rest, men restens utseende är snarlikt det hos uttrycket inom parentes. Har jag gjort något onödigt eller kanske fel när jag kom fram till det sista uttrycket? Om inte, hur borde jag fortsätta?

Prova att använda sfäriska koordinater $(r,\theta,\phi)$ där $r>0$ och $0\leq\theta \leq \pi$ och $0\leq \phi <>$ Ditt gränsvärde omformuleras då till att undersöka vad som händer när koordinaten $r\to 0$ .

Det kanske blir enklare att se hur man kan övergå till sfäriska koordinater om vi kallar vektorns komponenter för $x$ , $y$ och $z$ istället?

$\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\dfrac{e^{x^2+y^2+z^2}-1}{x^2+y^2+z^2+x^2y+y^2z+xz^2}$

Ja såklart, tack så mycket! :)

Svara

Visa senaste svar