Gränsvärde för en serie

Problemet lyder:

Låt $a_{1} = 1$ och $a_{n + 1} = \sqrt{1 + 2 a_{n}} (n = 1, 2, 2, . . .)$ . Visa att $\{a_{n}\}$ är växande och har en övre begränsning.(Ledtråd: visa att 3 är den övre gränsen.) Dvs, anta att sekvensen konvergerar och hitta dess gränsvärde.

Jag har börjat så här:

$a_{2} = \sqrt{1 + 2 \cdot 1} = \sqrt{3}$

$a_{2} > a_{1}$ $\Rightarrow$ $a_{k + 1} > a_{k}$ dvs $\{a_{n}\}$ är växande vsv.

Det är att bevisa att sekvensen har en övre begränsning som jag fastnar på.

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = x$

Om man skriver ut serien får man:

$x = \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 2 . . . \sqrt{1 + a_{1}}}}}$

eftersom x går mot oändligheten kan man skriva:

$x = \sqrt{1 + 2 \cdot x}$

sedan är det bara att lösa ut x:

$x = \sqrt{1 + 2 x} x^{2} = 1 + 2 x x^{2} - 2 x - 1 = 0 x = 1 \pm \sqrt{1 + 1} x = 1 \pm \sqrt{2}$

den negativa lösningen försvinner eftersom $a_{n} > 0 \forall n \in ℤ^{+}$

Enligt uppgiften borde x = 3. Men det får inte jag fram, kan någon förklara vad det är jag gör för fel?

Du har gjort rätt, men 3 duger som begränsning, eftersom $3 > 1+\sqrt{2}$ .

De borde inte skriva "är den övre gränsen", det finns lägre gränser.

Svara