Gränsvärde för en rekursiv formel

En idé kan vara att i första hand visa att det existerar ett gränsvärde genom att använda satsen om monoton konvergens (varje monoton begränsad följd har ett gränsvärde). De första talen i följden är $1<\sqrt{2}<\sqrt{1+\sqrt{2}}<\cdots$, så det verkar som följden är växande. Idén är alltså som följande

1. Visa att $\{b_{n}\}$ är växande.
2. Visa att $\{b_{n}\}$ är övre begränsad, dvs. att det finns $B$ med $b_{n} \leq B$ för alla positiva heltal $n$. (Verkar som $b_{n}<2$, använd induktion.)
3. Satsen om monoton konvergens säger att $\{b_{n}\}$ har ett gränsvärde $b$, som måste uppfylla $b = \sqrt{1+b}$.

Darth Vader har rätt, men jag är lite osäker om det ingår i Matte 5.

Men det du kom fram kan vara användbart.

Antag att $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n= b$

Då $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{n+1}^2= b^2$

Det ger $b = b^2-1$

Jag har faktiskt aldrig hört talas om monoton konvergens tidigare, tror inte det ingår i matte 5 tyvärr

När du säger så, är det bara naturligt att anta att $b_n$ ska gå mot b? Jag vill bara förstå tanken bakom det, alltså varför man gör det antagandet.

jalsho skrev:

Jag har faktiskt aldrig hört talas om monoton konvergens tidigare, tror inte det ingår i matte 5 tyvärr

När du säger så, är det bara naturligt att anta att $b_n$ ska gå mot b? Jag vill bara förstå tanken bakom det, alltså varför man gör det antagandet.

Det är bara  lite sunt förnuft och pluggstrategi. Är det en fråga om ett gränsvärdet i en sådan uppgift där du inte har förkunskaper att bestämma om det finns ett, så får man utgå ifrån att det finns. Skulle det inte finnas, borde det vara alldeles för uppenbart.

Oki then, jag är inte så bra på det här med gränsvärden

Jag fattar faktiskt inte vad det är som händer, fastän jag kommer fram till att b = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Vad är b??

Men det har du fått - det är det du skrev (närmevärde 1,618 - Gyllene snittet)

Det var interessant. Jag tror jag fattar

Undrar bara, när man skriver$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{n+1}=b^2$ varför blir inte också det bara b? De är ju i samma talföljd och går mot samma gräns, eller?

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{n+1} = b$

När $n\to \infty$ ska det inte spela någon roll om man tittar på $b_n$ eller  $b_{n+1}$.

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{n+1}\ne b^2$

Aha ursäkta, jag menade $\underset{n\to \infty }{\lim }{b^2}_{n+1}=b^2$. Men jag fattar, för det är uppenbart att det blir b^2