Gränsvärde för ett rotuttryck

Rötter brukar bli bra att förlänga med konjugatet.

Förläng med konjugatet.

Alternativt använder man serieutvecklingen:

$(1+a)^t\approx 1+at$, $t\approx 0$

$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1}=$

$x\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})\approx$

$x\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{x}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2})=...$

tomast80 skrev:

Alternativt använder man serieutvecklingen:

$(1+a)^t\approx 1+at$, $t\approx 0$

$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1}=$

$x\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})\approx$

$x\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{x}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2})=...$

Ingen aning om vad det är för något

Micimacko skrev:

Rötter brukar bli bra att förlänga med konjugatet.

Då måste jag förlänga nämnaren med konjugatet väl?

Dualitetsförhållandet skrev:

tomast80 skrev:

Alternativt använder man serieutvecklingen:

$(1+a)^t\approx 1+at$, $t\approx 0$

$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1}=$

$x\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})\approx$

$x\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{x}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2})=...$

Ingen aning om vad det är för något

Det är Maclaurinutveckling kring $t\approx 0$. Om $x$ är stort kommer

$\frac{3}{x}$ samt $\frac{1}{x^2}$ vara nära 0.

Se standardserier här:

Maclaurin Series

Dualitetsförhållandet skrev:

Micimacko skrev:

Rötter brukar bli bra att förlänga med konjugatet.

Då måste jag förlänga nämnaren med konjugatet väl?

Att förlänga betyder att multiplicera med 1, uttryckt som ett bråk med samma uttryck i täljaren och nämnaren.

tomast80 skrev:

Dualitetsförhållandet skrev:

Visa föregående citat

tomast80 skrev:

Alternativt använder man serieutvecklingen:

$(1+a)^t\approx 1+at$, $t\approx 0$

$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1}=$

$x\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})\approx$

$x\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{x}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2})=...$

Ingen aning om vad det är för något

Det är Maclaurinutveckling kring $t\approx 0$. Om $x$ är stort kommer

$\frac{3}{x}$ samt $\frac{1}{x^2}$ vara nära 0.

Se standardserier här:

Maclaurin Series

Har ingen aning om vad Maclaurin series är.

Laguna skrev:

Dualitetsförhållandet skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Rötter brukar bli bra att förlänga med konjugatet.

Då måste jag förlänga nämnaren med konjugatet väl?

Att förlänga betyder att multiplicera med 1, uttryckt som ett bråk med samma uttryck i täljaren och nämnaren.

Det hjälper knappast

Jo, det hjälper. Kan du visa hur långt du har kommit?

$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}}\times (x^2+3x-x^2+1)=\frac{3x+1}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+1}}$

Kan du bryta ut ett x både uppe och nere?

Micimacko skrev:

Kan du bryta ut ett x både uppe och nere?

Tack så mycket, nu löste jag den!

Det blir dock svårt i uppgift c) då allt är likadant som i den här uppgiften förutom att $\underset{x\to -\infty }{\lim } istället för \underset{x\to \infty }{\lim }$. Om jag använder samma metod som i den här uppgiften för c) får jag samma svar i c). Svaret ska dock vara -3/2 i c) istället för 3/2 som jag får i den här uppgiften.

Täljaren blir negativ och nämnaren positiv, eller hur?

Laguna skrev:

Täljaren blir negativ och nämnaren positiv, eller hur?

Nej, för jag kommer att göra samma omskrivningar som i den första uppgiften. Det kommer ge:

$\frac{3+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{3}{x}}}+\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}=\frac{3}{2} då x\to -\infty$

Blir 3x+1 ett positivt eller negativt tal om x är ett stort negativt tal?

Det du bryter ut ur rötterna är |x|, inte x. Det är där det blir fel.

Smaragdalena skrev:

Blir 3x+1 ett positivt eller negativt tal om x är ett stort negativt tal?

Det du bryter ut ur rötterna är |x|, inte x. Det är där det blir fel.

Om $x<0$ är $|x|=-x$.

Varför blir det fel?

Smaragdalena skrev:

Blir 3x+1 ett positivt eller negativt tal om x är ett stort negativt tal?

Det du bryter ut ur rötterna är |x|, inte x. Det är där det blir fel.

Det är x jag bryter ut, det är det som är problemet i min lösning ju. Jag ska bryta ut $\left|x\right|$ eftersom det inom rotuttrycket kommer att bli positivt måste det jag bryter ut också vara positivt i det här fallet iaf. Så om jag bryter ut -x blir det bra, och jag kommer fram till rätt svar.

Du kan aldrig ha något negativt under roten. Du bryter ut x^2 under roten, sen skriver du om rot(x^2) till |x|, och sen byter du ut den mot x eller - x efteråt om du redan vet ifall x är pos eller neg.

Micimacko skrev:

Du kan aldrig ha något negativt under roten. Du bryter ut x^2 under roten, sen skriver du om rot(x^2) till |x|, och sen byter du ut den mot x eller - x efteråt om du redan vet ifall x är pos eller neg.

Det var exakt det jag menade ju