Gränsvärde, flervariabel analys

Kanske går att se något om du skriver om det polärt?

Jag kan inte se hur uttrycket kan skrivas i polär form, är det där inte mer användbart inom komplexa tal? Jag har försökt att använda p(1/n,1/n) där lim n→∞, vilket är detsamma som när p→0.
Insättning och förenkling av uttrycket gör så att jag får 2^(1-alpha)*n^(2*alpha-1).

Uppskattar gärna en ledning till hur man skriver om det polärt ifall du kan se det.

$x^2+y^2=r^2$.

Tack för hjälpen, jag gör ett försök. (x+y)/(r^2)^alpha  -> exponential regel-> (x+y)/r^2alpha

(x+y)(r^-2alpha) 

Hm... det klarnar inte riktigt upp än för mig här tyvärr

Hej Scrubbs,

Du har funktioner

    $f_\alpha:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \to\mathbb{R}$

givna av uttrycken

    $f_\alpha(x,y) = \frac{x+y}{(x^2+y^2)^{\alpha}}\ , \quad \alpha > 0.$ 

Du vill studera hur gränsvärdet

    $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_\alpha(x,y)$

påverkas av valet av parameter $\alpha.$ 

Om du övergår till planpolära koordinater $(r,\theta)$ så arbetar du med funktioner

    $g_\alpha(r,\theta) = f_\alpha(x(r,\theta),y(r,\theta)) = \frac{r\cdot (\cos\theta + \sin\theta)}{r^{2\alpha}} = r^{1-2\alpha} \cdot \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ 

och vill studera hur gränsvärdet

    $\lim_{r\to0} g_\alpha(r,\theta)$

beror på valet av parametern $\alpha.$ 

Hej Albiki
Tack för att du har tagit din tid för att visa och formulera om mitt problem tidigare. Jag ska ta min tid och studera vidare hur du har gjort igenom stegen. Det ända som förbryllar mig lite just nu är hur jag ska studera gränsvärdet när det ser ut som "θ" inte är definierad i uttrycket?

Efter lite tänkande angående gränsvärde har jag kommit fram till lite info om hur jag ska mig vidare men rätta mig gärna ifall jag är ute i helt fel spår. Parametern för "θ" är egentligen arctan(y/x). 
För att ett gränsvärde ska existera betyder att alla riktningslinje mot origo <0,0> ska ha samma värde, har linjerna olika värden betyder att gränsvärdet ej existerar. Jag använder då punkten <t,t> för att definiera alla linjer mot origo samt en specifik linje <0,t> för att jämföra linjernas värde ifall gränsvärdet existerar för motsvarande parameter av alpha.

Är detta rätt tänkt för att hitta gränsvärdet för denna funktion?

Efter att ha testat detta verkar det som att när alpha= 0.5 så har de två linjerna olika värden och när 0.5>alpha>0 så har de samma värden?

Verkar detta tokigt?

Det är vad jag också kom fram till: Då $\alpha=0.5$ existerar inte gränsvärdet och då $0<\alpha<0.5$ är gränsvärdet noll. 

Tyvärr räcker det inte att kolla alla linjer som går mot origo. Det är möjligt att gränsvärdet inte existerar trots att det existerar längs alla linjer. Du måste visa att funktionen konvergerar mot något då r går mot 0 oberoende av theta.

Hej Albiki och parveln

Kul att du också tog din tid till att kolla igenom uppgiften och fick samma svar som mig. Jag misstänker också att vårt svar är ofullständigt som parveln påstår men metodmässigt vet jag inte hur jag ska ta mig till detta.

Så vad jag har fått klart för mig är att ett gränsvärde existerar när det är bekräftat att det konvergerar mot något, det är konsensusen. 
Hur visar vi detta samt att theta är oberoende, ska det förenklas vidare för att separera theta? 

Hej,

Mitt svar är inte ofullständigt, men ditt svar är det. Titta på vad jag skrev om funktionen $g_\alpha(r,\theta).$

• När $\alpha = 0.5$ har du funktionen $g_{0.5}(r,\theta) = \sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4}).$ Vad blir då gränsvärdet $\lim_{r\to 0} g_{0.5}(r,\theta)$? Är det samma gränsvärde oavsett värdet på $\theta$?
• När $1-2\alpha >0$ har du funktionen $g_{\alpha}(r,\theta) = \sqrt{2} \cdot r^{1-2\alpha}\sin(\theta+\frac{\pi}{4}).$ Vad blir gränsvärdet $\lim_{r\to0} g_{\alpha}(r,\theta)$? Är det samma gränsvärde oavsett värdet på $\theta$?

Det är inte väsentligt att $\tan \theta = y/x$; du har ju lämnat $x$ och $y$ bakom dig när du övergick till planpolära koordinater $r$ och $\theta.$ 

Hej 

Jag ser hur du resonerar när din funktion kan utesluta ifall gränsvärdet existerar genom att kolla alla möjliga värden på theta dvs. som en cirkeln runtom origo.

Kan du dock möjligtvis förklara för mig varför mitt svar är ofullständigt? Min metod kollar väl också "alla" linjer som går mot origo som en cirkel och ger också ett reellt värde på lim r→0 gα(r,θ). Dock skulle det finnas ett problem när jag använder y/x, där x inte får vara lika med 0, kan detta möjligtvis göra så att det blir en ofullständig metod?

I ditt tidigare inlägg säger du att du bara kollar linjen som går genom (t,t) respektive linjen som går genom (0,t) dvs endast två linjer. Därmed undersöker du bara två linjer och inte alls alla linjer mot origo. 

Oavsett vilka linjer du undersöker kommer det dock inte räcka som jag skrev tidigare. Gränsvärdet kan existera längs alla linjer, men ändå inte existera som ett flervariabelgränsvärde.