Gränsvärde flerdim

Vart tog limes vägen? Vilken punkt skall du närma dig efter substitutionen?

Smaragdalena skrev:

Vart tog limes vägen? Vilken punkt skall du närma dig efter substitutionen?

Limes försvann för att jag inte vet hur jag ska göra med limes när jag övergår till polärt 🙈 tänker r->0 men vet inte hur jag ska göra med täta.

Det är samma som med endimensionella koordinatbyten. Sätt in (1,0) 

Får se om jag kommer ihåg det...

$\tan \left(\theta \right)=\frac{y}{x}=\frac{0}{1}=0$

$\theta ={\tan }^{-1}\left(0\right)=0$

så det borde vara $\underset{\left(r,\theta \right)\to \left(1,0\right)}{\lim }$

Bedinsis skrev:

Får se om jag kommer ihåg det...

$\tan \left(\theta \right)=\frac{y}{x}=\frac{0}{1}=0$

$\theta ={\tan }^{-1}\left(0\right)=0$

så det borde vara $\underset{\left(r,\theta \right)\to \left(1,0\right)}{\lim }$

Åhh de verkar logiskt! De var ju en bra strategi! 

Hej igen!

Jag beslutade mig för att räkna lite mer, eftersom jag var osäker på om man kunde tänka på viset som jag förespråkade.

Hade du gjort konverteringen $\left\{\begin{array}{l}x=r*\cos \left(\theta \right)\\ y=r*\sin \left(\theta \right)\end{array}\right.$så hade jag varit ganska säker på att det är så man ska tänka.

Det var dock inte det du gjorde, det du gjorde var att utföra konverteringen $\left\{\begin{array}{l}x=1+r*\cos \left(\theta \right)\\ y=r*\sin \left(\theta \right)\end{array}\right.$.

Detta gör att jag blir osäker på om mitt resonemang höll.

Därför började jag tänka vad som konverteringen egentligen innebär. Hade du gjort den vanliga konverteringen till polära koordinater så hade r motsvarat avstånd till origo och $\theta$motsvarat vinkeln mellan x-axeln och vektorn som går från origo till (x,y). Den konvertering du gör motsvarar ju att vi gör på samma sätt, samt att vi dessutom förskjuter i x- och y-led så att punkten (1,0) blir vårt nya origo.

Skall vi då hitta vad som händer då vi kommer närmre vårt nya origo motsvarar det att r går mot 0. Vad gäller $\theta$borde det motsvara att vi inte bryr oss om det, då det bara anger från vilken vinkel vi går mot gränspunkten. Om vi jämför det med ekvationen som du kom fram till i slutändan ser vi att vi kan sätta in gränsvärdet på r. Då får vi ${\sin }^2\left(\theta \right)*\ln \left(1\right)={\sin }^2\left(\theta \right)*0=0$, oavsett vilket värde på $\theta$som används. Detta skulle stämma överens med att vinkeln saknar betydelse.

Slutligen prövade jag att bara stoppa in värden på (x,y) som låg nära (1,0) i Numerical Python. Låter man x bli 1 eller y bli 0 blir täljaren 0 vilket ger att värdet blir 0 om vi befinner oss direkt ovanför/nedanför punkten eller direkt till vänster om/direkt till höger om punkten. Sedan prövade jag att sätta in att $\left\{\begin{array}{l}x=1\pm \epsilon \\ y=\pm \epsilon \end{array}\right.$, och låta $\epsilon$få ett allt mindre värde. Ju mindre värdet på $\epsilon$, desto lägre värde tycktes kvoten få.

Från detta tror jag att gränsvärdet borde bli 0. Jag minns inte om det är så här man bör resonera, och det du frågade om var ju "hur går man vidare från här" så jag har väl inte besvarat frågan egentligen, men jag hoppas att detta resonemang har gett något.

Bedinsis skrev:

Hej igen!

Jag beslutade mig för att räkna lite mer, eftersom jag var osäker på om man kunde tänka på viset som jag förespråkade.

Hade du gjort konverteringen $\left\{\begin{array}{l}x=r*\cos \left(\theta \right)\\ y=r*\sin \left(\theta \right)\end{array}\right.$så hade jag varit ganska säker på att det är så man ska tänka.

Det var dock inte det du gjorde, det du gjorde var att utföra konverteringen $\left\{\begin{array}{l}x=1+r*\cos \left(\theta \right)\\ y=r*\sin \left(\theta \right)\end{array}\right.$.

Detta gör att jag blir osäker på om mitt resonemang höll.

Därför började jag tänka vad som konverteringen egentligen innebär. Hade du gjort den vanliga konverteringen till polära koordinater så hade r motsvarat avstånd till origo och $\theta$motsvarat vinkeln mellan x-axeln och vektorn som går från origo till (x,y). Den konvertering du gör motsvarar ju att vi gör på samma sätt, samt att vi dessutom förskjuter i x- och y-led så att punkten (1,0) blir vårt nya origo.

Skall vi då hitta vad som händer då vi kommer närmre vårt nya origo motsvarar det att r går mot 0. Vad gäller $\theta$borde det motsvara att vi inte bryr oss om det, då det bara anger från vilken vinkel vi går mot gränspunkten. Om vi jämför det med ekvationen som du kom fram till i slutändan ser vi att vi kan sätta in gränsvärdet på r. Då får vi ${\sin }^2\left(\theta \right)*\ln \left(1\right)={\sin }^2\left(\theta \right)*0=0$, oavsett vilket värde på $\theta$som används. Detta skulle stämma överens med att vinkeln saknar betydelse.

Slutligen prövade jag att bara stoppa in värden på (x,y) som låg nära (1,0) i Numerical Python. Låter man x bli 1 eller y bli 0 blir täljaren 0 vilket ger att värdet blir 0 om vi befinner oss direkt ovanför/nedanför punkten eller direkt till vänster om/direkt till höger om punkten. Sedan prövade jag att sätta in att $\left\{\begin{array}{l}x=1\pm \epsilon \\ y=\pm \epsilon \end{array}\right.$, och låta $\epsilon$få ett allt mindre värde. Ju mindre värdet på $\epsilon$, desto lägre värde tycktes kvoten få.

Från detta tror jag att gränsvärdet borde bli 0. Jag minns inte om det är så här man bör resonera, och det du frågade om var ju "hur går man vidare från här" så jag har väl inte besvarat frågan egentligen, men jag hoppas att detta resonemang har gett något.

Tusen tack för att du delar med dig av ditt resonemang. Blir rätt låst i mina egna tankar när jag sitter och pluggar själv hemma. Saknar kurskamrater att disskutera/resonnera med.