Gränsvärde flera variabler

Hej,

Jag skulle uppskatta hjälp med hur man beräknar följande gränsvärde för flera variabler:

$lim_{(x,y) \rightarrow (0,1)}\frac{xsin^2(\pi y)}{x^2+(y-1)^2}$

Min tanke var att skriva om funktionen enligt följande:

Då $sin(\pi)=0$ och $y \rightarrow 1$ kan vi skriva om funktionen till $\frac{0}{x^2+(y-1)^2}$ och därav är gränsvärdet noll för denna, men är detta ett korrekt sätt? Mitt andra alternativ är att skriva om uttrycket f(x,y) i polära koordinater men ville först kontrollera om man kan göra på det första sättet.

Tack på förhand!

Njae, att plocka ut enskilda delar av uttrycket är lite för skakigt, man måste ta hänsyn till hela uttrycket.

Det stämmer att täljaren $x\sin^2(\pi y)$ går mot noll (men inte endast pga sin-faktorn, x:et går också mot noll), men problemet är att nämnaren $x^2 + (y-1)^2$ också gör det. Gränsvärdet är alltså av typen 0/0, och såna måste undersökas närmare. Jämför med $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ som också är av typen 0/0 men är 1.

Däremot om nämnaren blivit något annat än noll, då hade det räckt med att täljaren går mot noll för att även gränsvärdet ska bli noll.

Svara