Gränsvärde eller derivata?
Hej! Jag har en funktion f(x) = x^2 + x
Jag vill få denna till derivatans definition, vilket betyder att för varje punkt i parablen av f(x) så har vi lutningen = f'(x) då lim h=>0
Så för att beräkna f'(x) använder vi formeln (f(x+h)-f(x))/h
x^2 skriver vi som (x+h)^2
x skriver vi som (x+h)
Vi sätter dessa värden i formeln
((x+h)^2 + (x+h) - (x^2+x))/h
=>
((x^2+ 2xh + h^2 + x + h)- (x^2+x))/h
=>
(2xh + h^2 + x + h)/h
=>
(2x+h+1)
=>
Eftersom h går mot h=0 så kommer kurvan alltså stiga uppåt emot y-led i en oändlig mängd y. Så vi sätter alltså in värdet på h som t.ex 0.000001 som gör att den är så nära y-led som möjligt vilket = 0
=>
Därför försvinner 2x + h + 1 => 2x + 1
Om vi nu skulle t.ex beräkna k värdet hos en tangent med f'(x)=2x+1 då tangenten är vid t.ex x=1
då skriver vi f'(1)=2x1+1 = 3, K värdet = 3 (är det verkligen k värdet jag beräknat eller är det bara y punkten?) Hur finner vi y punkten annars eller k värdet?)
Vad är skillnaden med f'(x) = 2x+1 och k värdet = 3? Och har jag tänkt rätt i min beräkning?
Är 2x+1 = gränsvärdet? Men varför kallas det då parabelns f(x) lutning?
ChristopherH skrev:Hej! Jag har en funktion f(x) = x^2 + x
Jag vill få denna till derivatans definition, vilket betyder att för varje punkt i parablen av f(x) så har vi lutningen = f'(x) då lim h=>0
stryk det fetstilta
Så för att beräkna f'(x) använder vi formeln (f(x+h)-f(x))/h
x^2 skriver vi som (x+h)^2
x skriver vi som (x+h)
Vi sätter dessa värden i formeln
((x+h)^2 + (x+h) - (x^2+x))/h
=>
((x^2+ 2xh + h^2 + x + h)- (x^2+x))/h
=>
(2xh + h^2 + x + h)/h
=>
(2x+h+1)
=>
Använd likhetstecken, inte =>
skriv ((x^2+ 2xh + h^2 + x + h)- (x^2+x))/h = [(x^2+x–x^2–x) + h(2x +h + 1)]/h =
= h(2x+h+1) / h = < h ≠ 0> = 2x+h+1 som går mot 2x+1 när h går mot 0
dvs f’(x) = 2x+1
Eftersom h går mot h=0 så kommer kurvan alltså stiga uppåt emot y-led i en oändlig mängd y. Så vi sätter alltså in värdet på h som t.ex 0.000001 som gör att den är så nära y-led som möjligt vilket = 0
=>
Därför försvinner 2x + h + 1 => 2x + 1
Stryk fetstilt
Om vi nu skulle t.ex beräkna k värdet hos en tangent med f'(x)=2x+1 då tangenten är vid t.ex x=1
då skriver vi f'(1)=2x1+1 = 3, K värdet = 3 (är det verkligen k värdet jag beräknat eller är det bara y punkten?) Hur finner vi y punkten annars eller k värdet?)
Om vi har en tangent där x = a så är tangentens k-värde 2a+1.
Om a = 1 så är tangentens k-värde 3. Parabelns lutning när x = 1 är f’(1) = 2*1 + 1
Vad är skillnaden med f'(x) = 2x+1 och k värdet = 3? Och har jag tänkt rätt i min beräkning?
Är 2x+1 = gränsvärdet? Men varför kallas det då parabelns f(x) lutning?
Parabelns lutning i en punkt är tangentens k-värde i punkten. Tangentens k-värde är derivatan i punkten.
Egentligen förstår jag inte vad du undrar. Men skriv inte => , skriv = när du menar =.
A => B skriver man för två påståenden (utsagor). Det betyder Om A Så B, t ex
x < –1 => x2 > 1
Mogens skrev:ChristopherH skrev:Hej! Jag har en funktion f(x) = x^2 + x
Jag vill få denna till derivatans definition, vilket betyder att för varje punkt i parablen av f(x) så har vi lutningen = f'(x) då lim h=>0
stryk det fetstilta
Så för att beräkna f'(x) använder vi formeln (f(x+h)-f(x))/h
x^2 skriver vi som (x+h)^2
x skriver vi som (x+h)
Vi sätter dessa värden i formeln
((x+h)^2 + (x+h) - (x^2+x))/h
=>
((x^2+ 2xh + h^2 + x + h)- (x^2+x))/h
=>
(2xh + h^2 + x + h)/h
=>
(2x+h+1)
=>
Använd likhetstecken, inte =>
skriv ((x^2+ 2xh + h^2 + x + h)- (x^2+x))/h = [(x^2+x–x^2–x) + h(2x +h + 1)]/h =
= h(2x+h+1) / h = < h ≠ 0> = 2x+h+1 som går mot 2x+1 när h går mot 0
dvs f’(x) = 2x+1
Eftersom h går mot h=0 så kommer kurvan alltså stiga uppåt emot y-led i en oändlig mängd y. Så vi sätter alltså in värdet på h som t.ex 0.000001 som gör att den är så nära y-led som möjligt vilket = 0
=>
Därför försvinner 2x + h + 1 => 2x + 1
Stryk fetstilt
Om vi nu skulle t.ex beräkna k värdet hos en tangent med f'(x)=2x+1 då tangenten är vid t.ex x=1
då skriver vi f'(1)=2x1+1 = 3, K värdet = 3 (är det verkligen k värdet jag beräknat eller är det bara y punkten?) Hur finner vi y punkten annars eller k värdet?)
Om vi har en tangent där x = a så är tangentens k-värde 2a+1.
Om a = 1 så är tangentens k-värde 3. Parabelns lutning när x = 1 är f’(1) = 2*1 + 1
Vad är skillnaden med f'(x) = 2x+1 och k värdet = 3? Och har jag tänkt rätt i min beräkning?
Är 2x+1 = gränsvärdet? Men varför kallas det då parabelns f(x) lutning?
Parabelns lutning i en punkt är tangentens k-värde i punkten. Tangentens k-värde är derivatan i punkten.
Egentligen förstår jag inte vad du undrar. Men skriv inte => , skriv = när du menar =.
A => B skriver man för två påståenden (utsagor). Det betyder Om A Så B, t ex
x < –1 => x2 > 1
Tack så mycket för ett utförligt svar, du svarade min fråga. Jag var lite 50/50 om vad f'(x) och f(x) hade för skillnad i teorin, så jag behövde säkerställa mig att visste vad det betydde. Tack så mycket verkligen!
Derivata är inget enkelt begrepp. Kul du fick ut något av förklaringen.
