Gränsvärde, derivata, höger och vänster

Första meningen verkar säga att f(x) är kontinuerlig runt x = 0. Det säger ingenting om f'(x).

Om gränsvärdet av f(x) existerar ändligt då x->0 så existerar även höger- och vänstergränsvärdet ändligt och är lika då x->0. Därför kan vi anta att f'(x) för både höger och vänster är lika då x=0

Påståendet ovan är falskt för f(x)=|x|

Vad föreslår ni att jag gör?

Hur ser frågan ut?

Utan att ge för mycket (vill ju kunna lösa den själv) så efterfrågas höger och vänsterderivatan då f'(0) för arcsin(?/?). Så arcsin för ett bråk!

Du får väl derivera med kedjeregeln.

Deriverat har jag redan gjort. Och derivatan stämmer. Frågar snarare hur jag ska visa vad höger och vänsterderivatan är då x=0?

Om det inte finns någon diskontinuitet sätter du bara in x = 0. Om det gör det får du göra en gränsvärdesbetraktelse.

Funktionen är kontinuerlig, men i x=0 finns en sån "skarp" punkt likt kurvan för lxl. Så hur kan jag (med ord) beskriva varför jag sätter in värdet direkt? För jag antar att mitt resonemang ovan inte stämde?

 Den lösning jag har på frågan nu ser ut typ såhär:

Söker höger- och vänstergränsvärde:

*insert beräkning: får fram samma värde för höger och vänster.*

Eftersom höger- och vänstergränsvärdet är lika gäller att gränsvärdet existerar:

*insert beräkning av gränsvärdet*

Funktionen är kontinuerlig och gränsvärdet existerar ändligt, därmed är funktionen deriverbar:

*insert beräkning av derivata*

Då höger- och vänstergränsvärdet existerar och är lika samt att gränsvärdet därmed existerar och funktionen i sin tur är deriverbar så bör f'(x) för höger och vänster vara lika, alltså:

*insert insättning av x=0 för höger, vänster och "bara" derivatan*

Är det ett godtagbart svar?

Alltså om funktionen är deriverbar i 0 så är ju höger och vänsterderivatan lika. Men är den verkligen det? När de frågar efter vänster och högerderivata tänker jag att den kanske inte är det...

Och det känns förvirrat att du pratar en massa om kontinuitet, kontinuitet implicerar inte deriverbarhet och du borde inte behöva blanda in kontinuitet öht. Om den är deriverbar borde du kunna visa det direkt och om den inte är det är det bara att titta på vänster och högerderivatan direkt.

Att jag blandar in kontinuitet handlar enbart om att jag vill styrka gränsvärdets definition och därmed derivatans definition då samband finns mellan dem. Det känns som ett dumförklarande svar. Det klart det kan bli förvirrat när jag själv inte helt vet vad jag håller på med exakt, därför jag är här och frågar. 

Får alltså göra en ny lösning verkar det som. 

Det skulle faktiskt underlätta om vi fick se uppgiften.

Man ska kolla om f(x) är kontinuerlig, det stämmer. Annars är den inte deriverbar, även om vänster- och högergränsvärdena av derivatan skulle existera och vara samma.

funktionen är $arc\sin \frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}$som jag ska hitta höger och vänsterderivatan till.

Det var verkligen inte meningen att få någon att känna sig dum.

Vilken punkt är det som är besvärlig? Jag tycker inte att derivatan ska behöva vara diskontinuerlig (men jag har bara ritat i huvudet, inte med datorhjälpmedel).

Här har vi ju egentligen två olika fall, dels a=0 dels a är skilt ifrån 0.

Om a=0 så har ju funktionen faktiskt en diskontinuitet i x=0 och är följaktligen inte deriverbar i x=0 men har likafullt samma höger som vänsterderivata.

Tycker bara det känns svårt att beräkna de ensidiga derivatorna med derivatans definition (f(x+h)-f(x))/h. Men då menar ni att jag kan göra en ”fall uppdelning” för x=0 och x≠0? Hur ska jag då motivera att derivatan är lika på båda sidor?

Nä det blir ju inte en falluppdelning för x=0 eller x skilt ifrån 0.

Det blir en fall uppdelning för a=0  eller a skilt ifrån 0.

Och det blir jättesvårt att göra detta utifrån derivatans definition, är nog absolut inte tänkt att du ska göra så.

Hur blir det att vi söker a lika med/skilt från noll? Det som efterfrågas är ju f’(0) för höger och vänster för funktionen f(x)?

och nej det är därför jag inte riktigt förstår hur jag ska gå tillväga med detta. Derivatans definition blir för avancerat. Vilket också är varför jag skriver här och frågar!

Frågan gäller väl för alla värden på a och det blir väldigt olika beroende på om a är 0 eller inte. Alltså värdet f'(0) kan ju bero på a.

Jag funderar lite på vad som är hyfsat smidigt sätt att göra detta.

Glöm fallet a=0, jag tänkte fel.

Alltså jag skulle bara resonera så här:

när x->0, oavsett från vilket håll, så går (a^2-x^2)/(a^2+x^2) mot 1 från vänster, så för den sammansatta funktionen är vänsterderivatan lika med högerderivatan.

Laguna skrev:

Vilken punkt är det som är besvärlig? Jag tycker inte att derivatan ska behöva vara diskontinuerlig (men jag har bara ritat i huvudet, inte med datorhjälpmedel).

Nu har jag ändrat mig, det blir en skarp topp.

Ja alltså,

skulle resonera så här:

För x skilt ifrån 0 är funktionen deriverbar och derivatan är .... (beräkna med kedjeregeln).

När x=0 är (a^2-x^2)/(a^2+x^2)=1 och i x=1 har arcsin ingen derivata.

Däremot har arcsin en vänsterderivata i x=1.

När x->0 går (a^2-x^2)/(a^2+x^2)->1 från vänster oavsett från vilket håll vi närmar oss noll.

Därför har den sammansatta funktionen en derivata i x=0, vänsterderivatan=högerderivatan.

Utgå nu från derivatan du räknade fram för x skilt ifrån 0 och beräkna dess gränsvärde när x går mot 0.