Gränsvärde & Derivata

Anledningen till att de tolkar situationen som en derivata är att bråkets form är väldigt lik derivatans definition: $f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$. Eftersom termen utan h har formen $\sqrt{3}$, medan termen med h har formen $\sqrt{3+h}$. Det gör att tankarna dras till att x skulle vara 3, och att vi då har f(3) respektive f(3 + h). För att den teorin skulle stämma måste $f\left(x\right)=\sqrt{x}$. 

Ett liknande exempel: Vilken funktions derivata skulle kunna beräknas med hjälp av uttrycket $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{5+h}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}}{h}$? I vilken punkt?

Om du har funktionen $f\left(x\right)=\sqrt[]{x}$, hur definieras f’(3)?

Jo det blir ju

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}$, vilket är precis det sökta gränsvärdet.

Så du kan därför lösa problemet genom att räkna ut f’(3) genom derivering på vanligt sätt av funktionen f(x) och utvärdera i  x = 3.

Ett liknande exempel: Vilken funktions derivata skulle kunna beräknas med hjälp av uttrycket $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{5+h}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}}{h}$? I vilken punkt?

Så har jag tänkt/gjort rätt här då? Jag försökte tänka som ni skrev men jag vet inte riktigt hur det gick. 

Jag såg dock nu att det står i vilken punkt, då ska man väll svara i (x ; y). Och när det står att man ska bestämma en derivatafunktion ska man då alltid använda gränsvärdet och liksom räkna ut en punkt? 

Det ser bra ut! Med "i vilken punkt" menar jag bara vilket x-värde det gällde för, slarvigt uttryckt av mig. :) Det räcker gott och väl att konstatera att värdet av uttrycket motsvarar f'(5) då f(x) = 1/x, vilket är lika med -0,04.