Gränsvärde då x går mot oändligheten, "farligt fall"

Vad dominerar när $x\rightarrow \infty$?

Dracaena skrev:

Vad dominerar när $x\rightarrow \infty$?

ln x?

Rita up $y=x$ och $y=\ln x$ i samma graf, du kan använda desmos om du inte vill göra det på papper.

Okej! Så x växer snabbare, men det innebär fortfarande att det är "$\frac{\infty }{\infty }$".

Ja, x växer betydligt snabbare än lnx. 

Bryt nu ut det som dominerar i täljaren och nämnaren, vad händer nu när x försätter att växa obehindrat? 

Såhär gjorde jag nu, stämmer detta?

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x \ln x}{x+\ln x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{x}\times \frac{\ln x}{(1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}})}=\underset{x\to \infty }{\lim }1\times \frac{\ln x}{(1+1)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{2}= \infty$

Svaret stämmer men jag förstår inte alls hur du räknar. Hur blev lnx/x =1?

Ett annat fel är att du verkar låta x vara stort på vissa faktorer, men så kan det inte vara. allt måste ske samtidigt. Min gissning är att du förivrrade lnx/x med sgv ln(1+x)/x = 1 om x går mot 0 men även då kan du inte låta x gå mot något i enskilda termer. 

ln(x)/x går mot 0 eftersom vi redan konstaterade att x >> ln (x) så för stora x har du i princip litet/enormt vilket blir mindre och mindre (går mot 0) ju mer x växer.

Dracaena skrev:

Ett annat fel är att du verkar låta x vara stort på vissa faktorer, men så kan det inte vara. allt måste ske samtidigt. Min gissning är att du förivrrade lnx/x med sgv ln(1+x)/x = 1 om x går mot 0 men även då kan du inte låta x gå mot något i enskilda termer. 

ln(x)/x går mot 0 eftersom vi redan konstaterade att x >> ln (x) så för stora x har du i princip litet/enormt vilket blir mindre och mindre (går mot 0) ju mer x växer.

Stämmer att jag gick för snabbt fram, lnx/x måste blir 0 då x går mot oändligheten, svaret blir alltså lnx/1  vilket blir oändligheten.

Ja, du kommer få $1+\infty = \infty$, nu kan vi inte stoppa in $\infty$ och räkna med det som ett tal för det är det inte men du förstår nog principen.

Vänta nu fattar jag inte. Om det i nämnaren blir $(1+\infty )=\infty$hamnar jag ju i det "farliga fallet" då ln x också blir $\infty$.

ja, men ln(x) kommer växa obehindrat så att allting går mot $\infty$.

Farliga fall är typ 0/0, 0^infty, infty/infty osv..

Dracaena skrev:

ja, men ln(x) kommer växa obehindrat så att allting går mot $\infty$.

 

Farliga fall är typ 0/0, 0^infty, infty/infty osv..

Men det gör ju både täljaren och nämnaren då vilket kommer ge det farliga fallet infty/infty

Eller har jag fel?

Nej, du har ju $\dfrac{\ln x}{1+\dfrac{\ln x}{x}}$ och eftersom lnx/x går mot 0 har du i princip $\dfrac{\ln x}{1}$ och lnx är ju strikt monoton så allt går mot $\infty$