Gränsvärde då x går mot 1

Vilka metoder får du använda?

Laguna skrev:

Vilka metoder får du använda?

Vi har ej blivit introducerade till L'Hopital i alla fall. Jag kan ej minnas andra metoder som tagits upp på föreläsningen. 

$\frac{\ln \left(x\right)}{x^2-1}=\frac{\ln \left(x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$.

Sätt t = x-1. Eller x = t + 1. Då x går mot 1 så går t mot noll.

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)}{t\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)-\ln \left(1\right)}{t}·\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t+2}={\left(\frac{d\ln \left(x\right)}{dx}\right)}_{x=1}·\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{\ln \left(x\right)}{x^2-1}=\frac{\ln \left(x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$.

Sätt t = x-1. Eller x = t + 1. Då x går mot 1 så går t mot noll.

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)}{t\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)-\ln \left(1\right)}{t}·\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t+2}={\left(\frac{d\ln \left(x\right)}{dx}\right)}_{x=1}·\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

varför står det -ln(1)  på rad 2?

För att det tydligt skulle övernensstämma med derivatans definition.

Aha, ja det är nog tydligare.

Jag såg detta som ett standardgränsvärde.:
$\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\ln (x+1)}{x}=1$

Ref: math.chalmers/limits.pdf

Ja, visst. Men tänkte att derivatan kanske var kändare. Hursomhelst så bygger ju lösningen på att man får anta att vissa gränsvärden redan är kända.

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{\ln \left(x\right)}{x^2-1}=\frac{\ln \left(x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$.

Sätt t = x-1. Eller x = t + 1. Då x går mot 1 så går t mot noll.

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)}{t\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)-\ln \left(1\right)}{t}·\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t+2}={\left(\frac{d\ln \left(x\right)}{dx}\right)}_{x=1}·\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Ah jag försökte med liknande subtitution,men är dock ej med på varför t går mot 0 då x går mot 1?

Om t = x - 1, vad går då t mot om x går mot 1?

Svar:

$\underset{x\to 1}{\lim }t=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x-1\right)$ = 1 - 1 = 0.

PATENTERAMERA skrev:

Om t = x - 1, vad går då t mot om x går mot 1?

Svar:

$\underset{x\to 1}{\lim }t=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x-1\right)$ = 1 - 1 = 0.

Ah right juste